Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hay về phương trình lượng giác và tham số m. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng kiến thức về bất đẳng thức và tính chất của hàm số lượng giác.

Trước hết, chúng ta cùng phân tích đề bài:
Chúng ta có bất phương trình: (m+1).cosx – 2 khác 0.
Yêu cầu là tìm các giá trị nguyên của m để bất phương trình này đúng với mọi x thuộc tập số thực R.

Để bất phương trình (m+1).cosx – 2 khác 0 đúng với mọi x thuộc R, điều này có nghĩa là không tồn tại giá trị nào của x sao cho (m+1).cosx – 2 = 0.
Nói cách khác, phương trình (m+1).cosx – 2 = 0 không có nghiệm x với mọi giá trị nguyên của m.

Chúng ta sẽ xét hai trường hợp cho hệ số (m+1):

Trường hợp 1: m+1 = 0, tức là m = -1.
Nếu m = -1, thì bất phương trình trở thành:
( -1 + 1 ).cosx – 2 khác 0
0.cosx – 2 khác 0
-2 khác 0
Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của x.
Vậy, m = -1 là một giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Trường hợp 2: m+1 khác 0, tức là m khác -1.
Khi đó, chúng ta có thể biến đổi phương trình (m+1).cosx – 2 = 0 thành:
(m+1).cosx = 2
cosx = 2 / (m+1)

Để phương trình cosx = 2 / (m+1) không có nghiệm x, thì giá trị của 2 / (m+1) phải nằm ngoài đoạn [-1, 1].
Chúng ta biết rằng, với mọi x thuộc R, giá trị của cosx luôn thỏa mãn:
-1 <= cosx <= 1 Do đó, để phương trình cosx = 2 / (m+1) không có nghiệm, ta phải có: 2 / (m+1) < -1 hoặc 2 / (m+1) > 1

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hai bất phương trình này:

* Giải bất phương trình 1: 2 / (m+1) < -1
Chuyển vế:
2 / (m+1) + 1 < 0 Quy đồng mẫu số: (2 + m+1) / (m+1) < 0 (m+3) / (m+1) < 0 Để phân thức này âm, tử số và mẫu số phải trái dấu. Chúng ta lập bảng xét dấu: | Khoảng giá trị | m+3 | m+1 | (m+3)/(m+1) | |-----------------|-------|-------|-------------| | m < -3 | - | - | + | | -3 < m < -1 | + | - | - | | m > -1 | + | + | + |

Vậy, bất phương trình (m+3) / (m+1) < 0 có nghiệm là -3 < m < -1. * Giải bất phương trình 2: 2 / (m+1) > 1
Chuyển vế:
2 / (m+1) – 1 > 0
Quy đồng mẫu số:
(2 – (m+1)) / (m+1) > 0
(2 – m – 1) / (m+1) > 0
(1 – m) / (m+1) > 0

Để phân thức này dương, tử số và mẫu số phải cùng dấu.
Chúng ta lập bảng xét dấu:

| Khoảng giá trị | 1-m | m+1 | (1-m)/(m+1) |
|—————–|——-|——-|————-|
| m < -1 | + | - | - | | -1 < m < 1 | + | + | + | | m > 1 | – | + | – |

Vậy, bất phương trình (1-m) / (m+1) > 0 có nghiệm là -1 < m < 1. Kết hợp lại, để phương trình cosx = 2 / (m+1) không có nghiệm, ta cần m thỏa mãn: (-3 < m < -1) hoặc (-1 < m < 1). Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện này. * Với -3 < m < -1: Giá trị nguyên duy nhất trong khoảng này là m = -2. * Với -1 < m < 1: Giá trị nguyên duy nhất trong khoảng này là m = 0. Nhớ lại là chúng ta đang xét trường hợp m khác -1, và các giá trị m = -2, m = 0 đều thỏa mãn điều kiện này. Cuối cùng, chúng ta tổng hợp kết quả từ cả hai trường hợp: Từ Trường hợp 1, ta có m = -1. Từ Trường hợp 2, ta có m = -2 và m = 0. Vậy, các giá trị nguyên của m để bất phương trình (m+1).cosx - 2 khác 0 đúng với mọi x thuộc R là m = -2, m = -1, và m = 0. Chúng ta cùng kiểm tra lại: - Nếu m = -2: (-2+1)cosx - 2 = -cosx - 2. Vì -1 <= cosx <= 1 nên 1 >= -cosx >= -1, suy ra -1 <= -cosx - 2 <= -3. Do đó -cosx - 2 luôn khác 0. - Nếu m = -1: (-1+1)cosx - 2 = 0.cosx - 2 = -2. Luôn khác 0. - Nếu m = 0: (0+1)cosx - 2 = cosx - 2. Vì -1 <= cosx <= 1 nên -3 <= cosx - 2 <= -1. Do đó cosx - 2 luôn khác 0. Đáp án của bài toán là các giá trị nguyên của m: {-2, -1, 0}. Các em về nhà xem lại bài và làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức hơn nhé!