Chào em! Chắc em đang gặp chút vướng mắc với bài toán này đúng không? Đừng lo lắng nhé, cô sẽ hướng dẫn em thật chi tiết để em hiểu rõ cách làm. Đây là một dạng bài rất hay và thường gặp trong chương trình Toán 11 của chúng ta.

Để giải phương trình \(2\sin^2x – 5\cos x + 1 = 0\), chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Chuyển đổi phương trình về cùng một hàm số lượng giác

Em để ý thấy trong phương trình có cả \(\sin^2x\) và \(\cos x\). Để có thể giải được, chúng ta cần đưa tất cả về cùng một loại hàm số lượng giác. Công thức cơ bản mà chúng ta đã học ở lớp 10, đó là công thức liên hệ giữa sin và cos, sẽ rất hữu ích ở đây:

\[ \sin^2x + \cos^2x = 1 \]

Từ công thức này, ta có thể suy ra biểu thức cho \(\sin^2x\):

\[ \sin^2x = 1 – \cos^2x \]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức này vào phương trình ban đầu. Phương trình trở thành:

\[ 2(1 – \cos^2x) – 5\cos x + 1 = 0 \]

Bước 2: Rút gọn phương trình về dạng phương trình bậc hai

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân phá ngoặc và thu gọn các số hạng trong phương trình:

\[ 2 – 2\cos^2x – 5\cos x + 1 = 0 \]

Gộp các hằng số và sắp xếp lại các số hạng theo thứ tự bậc từ cao xuống thấp:

\[ -2\cos^2x – 5\cos x + 3 = 0 \]

Để dễ nhìn và thường là để hệ số của \(\cos^2x\) dương, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \(-1\):

\[ 2\cos^2x + 5\cos x – 3 = 0 \]

Đến đây, em thấy phương trình của chúng ta đã trở thành một phương trình bậc hai theo \(\cos x\).

Bước 3: Đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai

Để thuận tiện hơn trong việc giải, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \cos x\).

Khi đặt ẩn phụ là \(\cos x\), chúng ta cần nhớ đến điều kiện của \(\cos x\), đó là giá trị của nó luôn nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\). Do đó, điều kiện cho \(t\) là:

\[ -1 \le t \le 1 \]

Thay \(t = \cos x\) vào phương trình, ta được phương trình bậc hai theo \(t\):

\[ 2t^2 + 5t – 3 = 0 \]

Chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Em có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc máy tính bỏ túi. Cô sẽ trình bày bằng công thức nghiệm nhé:

Tính biệt thức \(\Delta\):

\[ \Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) \]

\[ \Delta = 25 + 24 = 49 \]

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[ t_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 – 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

\[ t_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của ẩn phụ và quay về biến ban đầu

Bây giờ, chúng ta cần so sánh các giá trị \(t\) vừa tìm được với điều kiện \( -1 \le t \le 1 \):

• Với \(t_1 = -3\): Giá trị này không thỏa mãn điều kiện \( -1 \le t \le 1 \) (vì \(-3 < -1\)). Do đó, nghiệm này bị loại.
• Với \(t_2 = \frac{1}{2}\): Giá trị này thỏa mãn điều kiện \( -1 \le t \le 1 \) (vì \(-1 \le \frac{1}{2} \le 1\)). Do đó, nghiệm này được chấp nhận.

Vậy, chúng ta chỉ còn một trường hợp để giải là:

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]

Bước 5: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta biết rằng \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\).

Công thức nghiệm tổng quát cho phương trình \(\cos x = \cos \alpha\) là:

\[ x = \alpha + k2\pi \]

\[ x = -\alpha + k2\pi \]

Với \(k\) là một số nguyên bất kỳ (ký hiệu là \(k \in \mathbb{Z}\)).

Áp dụng công thức này với \(\alpha = \frac{\pi}{3}\), ta có hai họ nghiệm:

\[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \]

\[ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \]

(Với \(k \in \mathbb{Z}\)).

Kết luận:

Vậy, phương trình đã cho có hai họ nghiệm là:

\[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \]

\[ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \]

Với \(k \in \mathbb{Z}\).

Hy vọng với lời giải chi tiết từng bước này, em đã nắm rõ cách làm bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc em học tốt!