Chào em, cô rất vui được giúp em giải bài toán này. Đây là một dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ không dùng các phương pháp thông thường ngay được mà cần một chút biến đổi khéo léo.

Với dạng toán này, phương pháp hiệu quả nhất trong chương trình lớp 8 là thêm và bớt cùng một hạng tử để đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức mà chúng ta đã học.

Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Phân tích đa thức thành nhân tử: \(4x^8 + 1\)

Bước 1: Nhận dạng và tìm hạng tử cần thêm bớt.
Ta thấy đa thức có dạng tổng của hai số hạng. Ta có thể viết lại như sau:
\(4x^8 + 1 = (2x^4)^2 + 1^2\)

Biểu thức này làm chúng ta liên tưởng đến hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \(A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2\).
Ở đây, ta có thể xem \(A = 2x^4\) và \(B = 1\).
Để có hằng đẳng thức, ta cần có hạng tử \(2AB = 2 \cdot (2x^4) \cdot 1 = 4x^4\).
Vì vậy, chúng ta sẽ thêm và bớt hạng tử \(4x^4\).

Bước 2: Thực hiện thêm bớt và nhóm hạng tử.
Ta thêm \(4x^4\) và bớt \(4x^4\) vào đa thức ban đầu:
\[ 4x^8 + 1 = 4x^8 + 4x^4 + 1 – 4x^4 \]
Bây giờ, ta sẽ nhóm ba hạng tử đầu tiên lại với nhau để tạo thành hằng đẳng thức:
\[ = (4x^8 + 4x^4 + 1) – 4x^4 \]

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng”.
Nhóm trong ngoặc chính là hằng đẳng thức \( (2x^4 + 1)^2 \). Vậy ta có:
\[ = (2x^4 + 1)^2 – 4x^4 \]

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương”.
Lúc này, biểu thức lại có dạng một hằng đẳng thức khác là hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\).
Ta nhận thấy: \(4x^4 = (2x^2)^2\).
Vậy, với \(A = (2x^4 + 1)\) và \(B = 2x^2\), ta áp dụng công thức:
\[ = ( (2x^4 + 1) – 2x^2 ) ( (2x^4 + 1) + 2x^2 ) \]

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử và đưa ra kết quả cuối cùng.
Để biểu thức trông gọn gàng hơn, ta sẽ sắp xếp các hạng tử trong mỗi ngoặc theo thứ tự số mũ giảm dần của x.
\[ = (2x^4 – 2x^2 + 1)(2x^4 + 2x^2 + 1) \]
Các đa thức trong ngoặc không thể phân tích thành nhân tử được nữa (trong phạm vi kiến thức lớp 8).

Kết luận:
Vậy, kết quả phân tích đa thức \(4x^8 + 1\) thành nhân tử là:
\[ 4x^8 + 1 = (2x^4 – 2x^2 + 1)(2x^4 + 2x^2 + 1) \]

Đây là một phương pháp rất quan trọng, em hãy ghi nhớ để áp dụng cho các bài toán tương tự nhé. Chúc em học tốt