Chúng ta bắt đầu với phần a) của bài toán. Đề bài cho chúng ta biết một bài kiểm tra trắc nghiệm có 20 câu hỏi. Cách tính điểm rất rõ ràng:
– Trả lời đúng: +5 điểm
– Trả lời sai: -2 điểm
– Không trả lời: 0 điểm

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích trường hợp của Bình trước.
Bình trả lời toàn bộ 20 câu hỏi.
Bình trả lời đúng 13 câu.

Với 20 câu hỏi và trả lời đúng 13 câu, vậy số câu trả lời sai của Bình là:
Số câu sai của Bình = Tổng số câu hỏi – Số câu trả lời đúng
Số câu sai của Bình = 20 – 13 = 7 câu.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính điểm của Bình.
Điểm của Bình = (Số câu đúng Điểm mỗi câu đúng) + (Số câu sai Điểm mỗi câu sai)
Điểm của Bình = (13 5) + (7 -2)
Điểm của Bình = 65 + (-14)
Điểm của Bình = 65 – 14
Điểm của Bình = 51 điểm.

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích trường hợp của An.
An không trả lời 4 câu.
An chỉ đúng 12 câu.

Vì An không trả lời 4 câu, nên số câu An đã trả lời (bao gồm cả đúng và sai) là:
Số câu An đã trả lời = Tổng số câu hỏi – Số câu không trả lời
Số câu An đã trả lời = 20 – 4 = 16 câu.

An trả lời đúng 12 câu trong số 16 câu đã trả lời. Vậy số câu trả lời sai của An là:
Số câu sai của An = Số câu An đã trả lời – Số câu trả lời đúng của An
Số câu sai của An = 16 – 12 = 4 câu.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính điểm của An.
Điểm của An = (Số câu đúng Điểm mỗi câu đúng) + (Số câu sai Điểm mỗi câu sai) + (Số câu không trả lời * Điểm mỗi câu không trả lời)
Điểm của An = (12 5) + (4 -2) + (4 * 0)
Điểm của An = 60 + (-8) + 0
Điểm của An = 60 – 8
Điểm của An = 52 điểm.

So sánh điểm của hai bạn:
Điểm của Bình = 51 điểm.
Điểm của An = 52 điểm.

Vậy, An đạt điểm cao hơn Bình. Vì An được 52 điểm, còn Bình được 51 điểm.

Chúng ta chuyển sang phần b) của bài toán.
Đề bài cho biết Bách đạt được 69 điểm. Chúng ta cần tìm xem Bách đã trả lời đúng bao nhiêu câu.

Gọi:
– \(x\) là số câu Bách trả lời đúng (với \(x\) là số nguyên không âm và \(x \le 20\))
– \(y\) là số câu Bách trả lời sai
– \(z\) là số câu Bách không trả lời

Chúng ta có các phương trình sau dựa trên thông tin đề bài:
Tổng số câu hỏi: \(x + y + z = 20\) (1)
Tổng điểm của Bách: \(5x – 2y + 0z = 69\), hay \(5x – 2y = 69\) (2)

Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):
\(2y = 5x – 69\)
\(y = \frac{5x – 69}{2}\)

Vì \(y\) là số câu trả lời sai, nên \(y\) phải là một số nguyên không âm. Điều này có nghĩa là \(5x – 69\) phải là một số chẵn không âm.
\(5x – 69 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 69 \Rightarrow x \ge \frac{69}{5} \Rightarrow x \ge 13.8\).
Vì \(x\) là số nguyên, nên \(x \ge 14\).

Ngoài ra, để \(5x – 69\) là số chẵn, thì \(5x\) và 69 phải có cùng tính chẵn lẻ. Vì 69 là số lẻ, nên \(5x\) phải là số lẻ. Điều này xảy ra khi \(x\) là số lẻ.
Vậy, \(x\) phải là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 14. Các giá trị có thể của \(x\) là: 15, 17, 19.

Bây giờ, chúng ta sẽ thử từng giá trị của \(x\) để tìm \(y\) và \(z\), sau đó kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình (1) hay không.

Trường hợp 1: \(x = 15\)
\(y = \frac{5(15) – 69}{2} = \frac{75 – 69}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Kiểm tra với phương trình (1): \(x + y + z = 20 \Rightarrow 15 + 3 + z = 20 \Rightarrow 18 + z = 20 \Rightarrow z = 2\).
Với \(x = 15, y = 3, z = 2\), ta có \(x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\) và \(x+y+z = 15+3+2 = 20\). Các điều kiện đều thỏa mãn.
Điểm kiểm tra: \(5(15) – 2(3) = 75 – 6 = 69\). Đúng.

Trường hợp 2: \(x = 17\)
\(y = \frac{5(17) – 69}{2} = \frac{85 – 69}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
Kiểm tra với phương trình (1): \(x + y + z = 20 \Rightarrow 17 + 8 + z = 20 \Rightarrow 25 + z = 20 \Rightarrow z = -5\).
Vì \(z\) không thể âm, nên trường hợp này loại.

Trường hợp 3: \(x = 19\)
\(y = \frac{5(19) – 69}{2} = \frac{95 – 69}{2} = \frac{26}{2} = 13\)
Kiểm tra với phương trình (1): \(x + y + z = 20 \Rightarrow 19 + 13 + z = 20 \Rightarrow 32 + z = 20 \Rightarrow z = -12\).
Vì \(z\) không thể âm, nên trường hợp này loại.

Như vậy, chỉ có trường hợp \(x = 15\) là thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán.

Vậy, Bách đã trả lời đúng 15 câu.

Các em thấy không, với những kiến thức cơ bản về đại số, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán này một cách logic và chính xác. Hãy nhớ cách phân tích đề bài, xác định các đại lượng cần tìm và lập các phương trình, bất phương trình tương ứng. Cô hy vọng qua bài tập này, các em sẽ tự tin hơn khi gặp những dạng toán tương tự.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé. Chúc các em học tốt!