Các em hãy đọc kỹ đề bài và chuẩn bị giấy bút để chúng ta cùng nhau phân tích và tìm ra lời giải. Bài toán này yêu cầu chúng ta tính vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, với các thông tin về thời gian và quãng đường đã cho.

Chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về chuyển động đều trên dòng nước đã học.

Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và cần tìm.
– Đã biết:
+ Lần chạy 1: Thời gian = 8 giờ, Quãng đường xuôi dòng = 81 km, Quãng đường ngược dòng = 105 km.
+ Lần chạy 2: Thời gian = 4 giờ, Quãng đường xuôi dòng = 54 km, Quãng đường ngược dòng = 42 km.
+ Vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước không đổi.
– Cần tìm:
+ Vận tốc khi ca nô xuôi dòng.
+ Vận tốc khi ca nô ngược dòng.

Bước 2: Đặt ẩn cho các đại lượng cần tìm.
Chúng ta sẽ gọi:
– \(vx\) là vận tốc khi ca nô xuôi dòng (km/h).
– \(vn\) là vận tốc khi ca nô ngược dòng (km/h).

Bước 3: Áp dụng công thức quãng đường, vận tốc, thời gian để lập hệ phương trình.
Chúng ta biết công thức cơ bản của chuyển động:
\[ \text{Quãng đường} = \text{Vận tốc} \times \text{Thời gian} \]
Hoặc viết dưới dạng:
\[ s = v \times t \]
Từ đó, chúng ta có thể suy ra:
\[ v = \frac{s}{t} \]
Và:
\[ t = \frac{s}{v} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho từng lần chạy của ca nô.

Đối với lần chạy thứ nhất:
– Ca nô chạy trong 8 giờ.
– Quãng đường xuôi dòng là 81 km.
– Quãng đường ngược dòng là 105 km.

Ta có thể coi thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng cộng lại bằng tổng thời gian chạy. Tuy nhiên, đề bài cho tổng thời gian là 8 giờ và cho cả quãng đường xuôi và ngược. Điều này có nghĩa là ca nô đã chạy xuôi dòng một quãng đường, sau đó quay lại chạy ngược dòng một quãng đường khác, và tổng thời gian cho cả hai hành trình là 8 giờ.

Để giải bài toán này, chúng ta cần giả định rằng thời gian 8h là tổng thời gian bao gồm cả hai chiều đi xuôi và đi ngược. Tuy nhiên, cách diễn đạt “xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km” trong cùng 8 giờ có thể hiểu theo hai cách: hoặc là 81km xuôi dòng mất một thời gian, 105km ngược dòng mất một thời gian, và tổng hai thời gian đó là 8h; hoặc là ca nô di chuyển trên một đoạn sông, đi xuôi dòng 81km rồi quay lại đi ngược dòng 105km, và tổng thời gian là 8h. Với thông tin được cho, cách hiểu thứ hai có vẻ hợp lý hơn để lập hệ phương trình.

Tuy nhiên, cách ra đề này có thể gây nhầm lẫn. Nếu ta hiểu rằng ca nô chạy xuôi dòng trong một khoảng thời gian nào đó và ngược dòng trong khoảng thời gian còn lại của 8 giờ, thì ta cần thêm thông tin. Một cách hiểu khác phổ biến cho dạng toán này là:
Trong 8 giờ, ca nô đã đi được tổng cộng 81km xuôi dòng và 105km ngược dòng. Điều này có nghĩa là, nếu ca nô chỉ xuôi dòng thì với vận tốc xuôi dòng nó sẽ đi được 81km trong một khoảng thời gian nào đó, và nếu ca nô chỉ ngược dòng thì với vận tốc ngược dòng nó sẽ đi được 105km trong một khoảng thời gian nào đó. Nhưng 81km và 105km này không diễn ra đồng thời trong 8h.

Để bài toán có thể giải được bằng hệ phương trình hai ẩn với các thông tin đã cho, chúng ta sẽ hiểu như sau:
Trong 8 giờ, tổng quãng đường xuôi dòng và ngược dòng mà ca nô đi được là 81km + 105km = 186km. Tuy nhiên, cách này không hợp lý vì ca nô không thể cùng lúc xuôi và ngược dòng.

Chúng ta hãy xem lại cách diễn đạt: “Một ca nô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km”. Điều này có nghĩa là, trong 8 giờ đó, ca nô đã di chuyển trên sông. Và nếu ta đo quãng đường nó đi xuôi dòng là 81km và quãng đường nó đi ngược dòng là 105km. Đây là một điểm mấu chốt. Nếu ca nô di chuyển trên một đoạn sông, thì việc đi xuôi dòng 81km rồi lại đi ngược dòng 105km có nghĩa là nó đi xuôi một đoạn, rồi quay lại đi ngược. Tuy nhiên, đề bài cho hai lần chạy khác nhau.

Hãy phân tích lại:
Lần 1: Tổng thời gian = 8h. Trong thời gian này, ca nô có hoạt động xuôi dòng và ngược dòng.
Lần 2: Tổng thời gian = 4h. Trong thời gian này, ca nô cũng có hoạt động xuôi dòng và ngược dòng.

Dạng bài này thường được hiểu là:
Trong 8 giờ, ca nô di chuyển với vận tốc xuôi dòng trên quãng đường 81km và di chuyển với vận tốc ngược dòng trên quãng đường 105km. Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra đồng thời trong cùng một khoảng thời gian.

Cách hiểu đúng nhất cho dạng bài này là:
Trong 8 giờ, ca nô đã thực hiện một hành trình. Hành trình này bao gồm việc đi xuôi dòng một đoạn đường và đi ngược dòng một đoạn đường. Nhưng cách ra đề “xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km” trong cùng 8h là không rõ ràng nếu ca nô chỉ đi trên một khúc sông và quay đầu.

Chúng ta hãy giả định rằng, trong 8 giờ đó, ca nô đã đi xuôi dòng được 81km (tốn một phần thời gian) và đi ngược dòng được 105km (tốn phần thời gian còn lại).
Gọi \(tx1\) là thời gian ca nô đi xuôi dòng trong lần chạy 1.
Gọi \(tn1\) là thời gian ca nô đi ngược dòng trong lần chạy 1.
Ta có:
\[ tx1 + tn1 = 8 \quad (1) \]
Theo công thức quãng đường, vận tốc, thời gian:
\[ 81 = vx \times tx1 \] => \[ tx1 = \frac{81}{vx} \]
\[ 105 = vn \times tn1 \] => \[ tn1 = \frac{105}{vn} \]
Thay \(tx1\) và \(tn1\) vào phương trình (1):
\[ \frac{81}{vx} + \frac{105}{vn} = 8 \quad (*) \]

Bây giờ, ta xét lần chạy thứ hai:
– Ca nô chạy trong 4 giờ.
– Quãng đường xuôi dòng là 54 km.
– Quãng đường ngược dòng là 42 km.

Gọi \(tx2\) là thời gian ca nô đi xuôi dòng trong lần chạy 2.
Gọi \(tn2\) là thời gian ca nô đi ngược dòng trong lần chạy 2.
Ta có:
\[ tx2 + tn2 = 4 \quad (2) \]
Theo công thức quãng đường, vận tốc, thời gian:
\[ 54 = vx \times tx2 \] => \[ tx2 = \frac{54}{vx} \]
\[ 42 = vn \times tn2 \] => \[ tn2 = \frac{42}{vn} \]
Thay \(tx2\) và \(tn2\) vào phương trình (2):
\[ \frac{54}{vx} + \frac{42}{vn} = 4 \quad (**) \]

Bước 4: Giải hệ phương trình.
Chúng ta có hệ phương trình với hai ẩn \(vx\) và \(vn\):
\[ \begin{cases} \frac{81}{vx} + \frac{105}{vn} = 8 \\ \frac{54}{vx} + \frac{42}{vn} = 4 \end{cases} \]

Để giải hệ này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Đặt \( a = \frac{1}{vx} \) và \( b = \frac{1}{vn} \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\[ \begin{cases} 81a + 105b = 8 \\ 54a + 42b = 4 \end{cases} \]

Bây giờ, chúng ta giải hệ phương trình tuyến tính này.
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng trừ.
Hãy thử phương pháp cộng trừ.
Nhân phương trình thứ hai với một số thích hợp để hệ số của \(a\) hoặc \(b\) bằng với hệ số tương ứng ở phương trình thứ nhất hoặc đối nhau.
Nhận thấy 81 và 54 đều chia hết cho 27. Và 105 và 42 đều chia hết cho 21.
Hoặc ta có thể làm cho hệ số của \(a\) bằng nhau:
Nhân phương trình thứ nhất với 2: \( 162a + 210b = 16 \)
Nhân phương trình thứ hai với 3: \( 162a + 126b = 12 \)

Trừ phương trình thứ hai mới (nhân 3) cho phương trình thứ nhất mới (nhân 2):
\( (162a + 126b) – (162a + 210b) = 12 – 16 \)
\( 162a + 126b – 162a – 210b = -4 \)
\( -84b = -4 \)
\( b = \frac{-4}{-84} = \frac{1}{21} \)

Bây giờ, thay giá trị của \(b\) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(a\). Ta thay vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu: \( 54a + 42b = 4 \)
\( 54a + 42 \times \frac{1}{21} = 4 \)
\( 54a + 2 = 4 \)
\( 54a = 4 – 2 \)
\( 54a = 2 \)
\( a = \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \)

Bước 5: Tìm vận tốc xuôi dòng và ngược dòng.
Chúng ta đã tìm được \( a = \frac{1}{27} \) và \( b = \frac{1}{21} \).
Nhớ lại rằng ta đã đặt \( a = \frac{1}{vx} \) và \( b = \frac{1}{vn} \).
Vậy:
\( \frac{1}{vx} = \frac{1}{27} \) => \( vx = 27 \) (km/h)
\( \frac{1}{vn} = \frac{1}{21} \) => \( vn = 21 \) (km/h)

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả.
Chúng ta thay vận tốc \(vx = 27\) km/h và \(vn = 21\) km/h vào các phương trình ban đầu để kiểm tra.

Lần chạy 1:
Thời gian xuôi dòng: \( tx1 = \frac{81}{27} = 3 \) giờ.
Thời gian ngược dòng: \( tn1 = \frac{105}{21} = 5 \) giờ.
Tổng thời gian: \( 3 + 5 = 8 \) giờ. (Khớp với đề bài)

Lần chạy 2:
Thời gian xuôi dòng: \( tx2 = \frac{54}{27} = 2 \) giờ.
Thời gian ngược dòng: \( tn2 = \frac{42}{21} = 2 \) giờ.
Tổng thời gian: \( 2 + 2 = 4 \) giờ. (Khớp với đề bài)

Kết quả của chúng ta là hoàn toàn chính xác.

Vậy, vận tốc khi ca nô xuôi dòng là 27 km/h và vận tốc khi ca nô ngược dòng là 21 km/h.

Đáp số:
Vận tốc xuôi dòng: 27 km/h.
Vận tốc ngược dòng: 21 km/h.