Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chuyển động khá quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9. Bài toán này liên quan đến chuyển động xuôi dòng và ngược dòng của ca nô.

Chúng ta cùng phân tích đề bài và tìm ra lời giải nhé!

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các đại lượng

Đề bài cho chúng ta các thông tin sau:
* Quãng đường từ A đến B: 40 km.
* Thời gian cả đi xuôi dòng và ngược dòng: 3 giờ 20 phút.
* Vận tốc dòng nước: 5 km/h.
* Chúng ta cần tìm: Vận tốc riêng của ca nô khi nước yên lặng.

Bước 2: Đổi đơn vị thời gian

Đề bài cho thời gian là 3 giờ 20 phút. Để tiện cho việc tính toán, chúng ta cần đổi tất cả về cùng một đơn vị là giờ.
Ta có: 20 phút = 20/60 giờ = 1/3 giờ.
Vậy, tổng thời gian đi và về là: 3 giờ + 1/3 giờ = 3 + 1/3 = 10/3 giờ.

Bước 3: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng khác

Gọi vận tốc riêng của ca nô khi nước yên lặng là \( v_{cano} \) (km/h).
Vì ca nô đi xuôi dòng, vận tốc của nó sẽ tăng lên bằng vận tốc riêng cộng với vận tốc dòng nước.
Vận tốc xuôi dòng là: \( v_{xuôi} = v_{cano} + v_{nước} = v_{cano} + 5 \) (km/h).

Khi ca nô đi ngược dòng, vận tốc của nó sẽ giảm đi bằng vận tốc riêng trừ đi vận tốc dòng nước.
Vận tốc ngược dòng là: \( v_{ngược} = v_{cano} – v_{nước} = v_{cano} – 5 \) (km/h).
Lưu ý: Điều kiện để ca nô có thể đi ngược dòng là \( v_{cano} > v_{nước} \), tức là \( v_{cano} > 5 \).

Bước 4: Biểu diễn thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng

Chúng ta có công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là:
Thời gian = Quãng đường / Vận tốc

Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là:
\( t_{xuôi} = \frac{S_{AB}}{v_{xuôi}} = \frac{40}{v_{cano} + 5} \) (giờ).

Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là:
\( t_{ngược} = \frac{S_{BA}}{v_{ngược}} = \frac{40}{v_{cano} – 5} \) (giờ).

Bước 5: Lập phương trình dựa vào tổng thời gian

Theo đề bài, tổng thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng là 10/3 giờ. Ta có phương trình:
\( t_{xuôi} + t_{ngược} = \frac{10}{3} \)
Thay các biểu thức thời gian vào, ta được:
\( \frac{40}{v_{cano} + 5} + \frac{40}{v_{cano} – 5} = \frac{10}{3} \)

Bước 6: Giải phương trình

Đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu số. Chúng ta sẽ quy đồng và giải nó.
Trước hết, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 10 để làm gọn hơn:
\( \frac{4}{v_{cano} + 5} + \frac{4}{v_{cano} – 5} = \frac{1}{3} \)

Bây giờ, ta quy đồng mẫu số hai vế:
Mẫu số chung là \( 3(v_{cano} + 5)(v_{cano} – 5) \).

\( \frac{4 \cdot 3 \cdot (v_{cano} – 5)}{3(v_{cano} + 5)(v_{cano} – 5)} + \frac{4 \cdot 3 \cdot (v_{cano} + 5)}{3(v_{cano} + 5)(v_{cano} – 5)} = \frac{(v_{cano} + 5)(v_{cano} – 5)}{3(v_{cano} + 5)(v_{cano} – 5)} \)

Khử mẫu số, ta được:
\( 12(v_{cano} – 5) + 12(v_{cano} + 5) = (v_{cano} + 5)(v_{cano} – 5) \)

Rút gọn hai vế:
\( 12v_{cano} – 60 + 12v_{cano} + 60 = v_{cano}^2 – 25 \)
\( 24v_{cano} = v_{cano}^2 – 25 \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để có phương trình bậc hai:
\( v_{cano}^2 – 24v_{cano} – 25 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Ta thử phân tích thành nhân tử:
Ta cần tìm hai số mà tích bằng -25 và tổng bằng -24. Hai số đó là -25 và 1.
\( (v_{cano} – 25)(v_{cano} + 1) = 0 \)

Vậy, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( v_{cano} – 25 = 0 \implies v_{cano} = 25 \)
Trường hợp 2: \( v_{cano} + 1 = 0 \implies v_{cano} = -1 \)

Bước 7: Kiểm tra điều kiện và chọn nghiệm

Chúng ta đã đặt điều kiện là \( v_{cano} > 5 \) để ca nô có thể đi ngược dòng.
* Với \( v_{cano} = 25 \): Thỏa mãn điều kiện \( 25 > 5 \).
* Với \( v_{cano} = -1 \): Không thỏa mãn điều kiện vì vận tốc không thể âm.

Do đó, ta chỉ chấp nhận nghiệm \( v_{cano} = 25 \).

Bước 8: Kết luận

Vậy, vận tốc riêng của ca nô khi nước yên lặng là 25 km/h.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các công thức về chuyển động và biết cách lập phương trình, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé!