Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của các em. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về xác suất rất thú vị từ chương trình lớp 11. Bài toán này liên quan đến việc tuyển dụng nhân viên, một tình huống thực tế mà các em có thể gặp sau này. Chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về tổ hợp và xác suất để giải quyết từng câu hỏi nhé!

BÀI TOÁN:
Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam, khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau.
1. Tính xác suất để cả 2 người được tuyển là nữ?
2. Tính xác suất để cả 2 người được tuyển là nữ, biết rằng 1 nữ đã được tuyển?

Chúng ta cùng bắt đầu với câu 1 nhé!

PHẦN 1: TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ CẢ 2 NGƯỜI ĐƯỢC TUYỂN LÀ NỮ

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định không gian mẫu và biến cố cần tính xác suất. Vì khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau, nên chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp để đếm số trường hợp.

Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 2 nhân viên từ 6 người.
Đây là bài toán chọn 2 người từ 6 người mà không quan tâm đến thứ tự, nên chúng ta sử dụng công thức tổ hợp chập k của n phần tử: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Ở đây, \(n = 6\) (tổng số người nộp đơn) và \(k = 2\) (số nhân viên cần tuyển).
Vậy, tổng số cách chọn 2 nhân viên từ 6 người là:
\(|\Omega| = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\) cách.
Đây chính là số phần tử của không gian mẫu.

Bước 2: Xác định số cách chọn 2 nhân viên đều là nữ.
Trong số 6 người nộp đơn có 4 nữ. Chúng ta cần chọn 2 nữ từ 4 nữ này.
Sử dụng công thức tổ hợp chập k của n phần tử: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Ở đây, \(n = 4\) (số nữ) và \(k = 2\) (số nhân viên nữ cần chọn).
Vậy, số cách chọn 2 nữ từ 4 nữ là:
\(|A| = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\) cách.
Đây chính là số kết quả thuận lợi cho biến cố “cả 2 người được tuyển là nữ”.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố.
Xác suất của một biến cố được tính bằng công thức: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\), trong đó \(|A|\) là số kết quả thuận lợi cho biến cố A và \(|\Omega|\) là tổng số kết quả có thể xảy ra.
Với \(|A| = 6\) và \(|\Omega| = 15\), xác suất để cả 2 người được tuyển là nữ là:
\(P(A) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\).

Vậy, xác suất để cả 2 người được tuyển là nữ là 2/5.

Bây giờ, chúng ta sang câu 2 nhé!

PHẦN 2: TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ CẢ 2 NGƯỜI ĐƯỢC TUYỂN LÀ NỮ, BIẾT RẰNG 1 NỮ ĐÃ ĐƯỢC TUYỂN

Câu hỏi này là một bài toán về xác suất có điều kiện. Chúng ta cần tính xác suất của một biến cố xảy ra, biết rằng một biến cố khác đã xảy ra.

Bước 1: Xác định các biến cố.
Gọi biến cố A là “cả 2 người được tuyển là nữ”. (Chúng ta đã tính ở câu 1).
Gọi biến cố B là “ít nhất 1 nữ đã được tuyển”.

Chúng ta cần tính xác suất của biến cố A, biết biến cố B đã xảy ra. Ký hiệu là \(P(A|B)\).
Công thức xác suất có điều kiện là: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).

Bước 2: Phân tích mối quan hệ giữa biến cố A và B.
Nếu biến cố A xảy ra (cả 2 người được tuyển là nữ), thì điều đó có nghĩa là cả 2 người đó đều là nữ. Khi đó, chắc chắn là “ít nhất 1 nữ đã được tuyển”.
Do đó, biến cố A là một trường hợp con của biến cố B. Hay nói cách khác, nếu A xảy ra thì B chắc chắn xảy ra.
Vì vậy, \(A \cap B = A\).
Suy ra, \(P(A \cap B) = P(A)\).

Bước 3: Tính xác suất của biến cố B (ít nhất 1 nữ đã được tuyển).
Tổng số cách chọn 2 nhân viên từ 6 người là \(|\Omega| = 15\) (như đã tính ở câu 1).
Để tính xác suất “ít nhất 1 nữ được tuyển”, chúng ta có thể tính phần bù của nó: “không có nữ nào được tuyển”, tức là “cả 2 người được tuyển đều là nam”.

* Số cách chọn 2 nam từ 2 nam là: \(C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1\) cách.
* Xác suất để cả 2 người được tuyển là nam là: \(P(\text{cả 2 nam}) = \frac{C_2^2}{C_6^2} = \frac{1}{15}\).

Xác suất của biến cố B (ít nhất 1 nữ được tuyển) sẽ là:
\(P(B) = 1 – P(\text{cả 2 nam}) = 1 – \frac{1}{15} = \frac{14}{15}\).

Bước 4: Tính xác suất có điều kiện \(P(A|B)\).
Chúng ta đã có:
* \(P(A \cap B) = P(A) = \frac{2}{5}\) (tính ở câu 1).
* \(P(B) = \frac{14}{15}\).

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}\)
\(P(A|B) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{14}{15}} = \frac{2}{5} \times \frac{15}{14} = \frac{2 \times 15}{5 \times 14} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}\).

Vậy, xác suất để cả 2 người được tuyển là nữ, biết rằng 1 nữ đã được tuyển, là 3/7.

Một cách khác để hiểu câu 2, chúng ta có thể xem xét lại không gian mẫu đã bị thu hẹp.
Nếu biết rằng 1 nữ đã được tuyển, thì có 3 trường hợp có thể xảy ra cho 2 người được tuyển:
1. 1 nữ và 1 nam được tuyển.
2. 2 nữ được tuyển.

Hãy đếm số cách cho mỗi trường hợp:
* Trường hợp 1 (1 nữ, 1 nam): Chọn 1 nữ từ 4 nữ \(C_4^1 = 4\) cách. Chọn 1 nam từ 2 nam \(C_2^1 = 2\) cách. Vậy có \(4 \times 2 = 8\) cách.
* Trường hợp 2 (2 nữ): Chọn 2 nữ từ 4 nữ \(C_4^2 = 6\) cách.

Tổng số cách mà “ít nhất 1 nữ được tuyển” là \(8 + 6 = 14\) cách. Đây chính là số phần tử của không gian mẫu mới.

Trong số các trường hợp này, trường hợp “cả 2 người được tuyển là nữ” là 6 cách (như đã tính ở câu 1).

Vậy xác suất cần tìm là:
\(\frac{\text{Số cách chọn 2 nữ}}{\text{Số cách chọn ít nhất 1 nữ}} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\).

Kết quả vẫn là 3/7. Cách tiếp cận này cũng rất hiệu quả khi bài toán cho chúng ta biết trước một thông tin nào đó.

Cô hy vọng với cách giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức tổ hợp và xác suất có điều kiện. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!