một hộp có 100 viên bi giống nhau hỏi có bao nhiêu cách chia số bi trên cho 30 b…
BÀI GIẢI CHI TIẾT
Bước 1: Phân tích và đơn giản hóa bài toán
Bài toán yêu cầu chúng ta chia 100 viên bi giống hệt nhau cho 30 bạn, với một điều kiện quan trọng là “mỗi bạn có ít nhất 1 viên”.
Điều kiện này là mấu chốt để chúng ta giải quyết bài toán. Để đảm bảo mỗi bạn đều có bi, chúng ta hãy thực hiện một bước giả định: Ta chia trước cho mỗi bạn trong số 30 bạn đúng 1 viên bi.
Số viên bi đã chia đi là:
\( 30 \times 1 = 30 \) (viên bi)
Sau khi chia xong, số viên bi còn lại trong hộp là:
\( 100 – 30 = 70 \) (viên bi)
Bây giờ, bài toán đã trở thành: “Có bao nhiêu cách chia 70 viên bi còn lại cho 30 bạn mà không có điều kiện gì thêm?”. Điều này có nghĩa là một bạn bất kỳ có thể nhận thêm 0, 1, 2, … hoặc cả 70 viên bi còn lại. Đây là dạng bài toán chia kẹo kinh điển của Euler mà chúng ta đã học.
Bước 2: Mô hình hóa bài toán bằng phương pháp “Vách ngăn”
Bây giờ, chúng ta cần tìm số cách chia 70 viên bi (giống nhau) cho 30 bạn (khác nhau).
Ta hãy tưởng tượng 70 viên bi được xếp thành một hàng ngang. Để chia số bi này thành 30 phần (cho 30 bạn), chúng ta cần dùng \( 30 – 1 = 29 \) vách ngăn.
Ví dụ, nếu ta có 5 viên bi và 3 bạn, ta sẽ dùng 2 vách ngăn. Một cách chia có thể là:
(bi) (bi) | (bi) | (bi) (bi)
Cách chia này tương ứng bạn 1 có 2 viên, bạn 2 có 1 viên, bạn 3 có 2 viên.
Quay lại bài toán của chúng ta:
– Ta có 70 viên bi (coi như 70 vật).
– Ta có 29 vách ngăn (coi như 29 vật).
Tổng số vật thể (bi và vách ngăn) mà chúng ta cần sắp xếp vào một hàng là:
\( 70 + 29 = 99 \) (vị trí)
Bài toán bây giờ quy về việc: Trong 99 vị trí này, có bao nhiêu cách chọn ra 29 vị trí để đặt các vách ngăn? (Các vị trí còn lại đương nhiên sẽ là vị trí của các viên bi).
Bước 3: Áp dụng công thức Tổ hợp
Số cách chọn 29 vị trí cho vách ngăn từ 99 vị trí chính là một tổ hợp chập 29 của 99 phần tử.
Công thức tổ hợp chập k của n phần tử là: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Áp dụng vào bài toán, ta có số cách chia là:
\[ C_{99}^{29} \]
Lưu ý: Việc chọn 29 vị trí cho vách ngăn cũng tương đương với việc chọn 70 vị trí cho các viên bi. Do đó, ta cũng có thể tính bằng công thức \( C_{99}^{70} \). Theo tính chất của tổ hợp, ta biết rằng \( C_n^k = C_n^{n-k} \), vì vậy \( C_{99}^{29} = C_{99}^{99-29} = C_{99}^{70} \). Cả hai cách tính đều cho cùng một kết quả.
KẾT LUẬN
Vậy, số cách chia 100 viên bi giống nhau cho 30 bạn sao cho mỗi bạn có ít nhất 1 viên là \( C_{99}^{29} \) cách.
Đây là một bài toán ứng dụng rất hay của tổ hợp. Em hãy nắm vững phương pháp “vách ngăn” này vì nó sẽ xuất hiện trong nhiều dạng bài tập khác nhau. Chúc em học tốt
Đáp án:
\(C^{29}_{99}\)
Giải thích các bước giải:
Gọi \(x_1, x_2,x_3…x_{30}\) là số kẹo của người thứ 1, thứ 2,.., thứ 30
vì tổng số kẹo của 30 người là 100
Suy ra \(x_1+x_2+x_3+…+x_{30}=100\)
Ta viết 100 dưới dạng 1 1 1 … 1 1 (100 số 1)
Như vậy để chia 100 số trên cho 30 người ta sẽ đặt 29 dấu cộng vào giữa các số 1 (99 vị trí)
suy ra số cách chia là \(C^{29}_{99}\)
Bài này đề không chuẩn, đáp án có thể khác nhau tùy theo cách hiểu đề của từng người !
Chẳng hạn từ 100 cái kẹo giống nhau đó, ta phát cho 30 người, mỗi người 1 cái kẹo (còn dư 70 cái kẹo).Như thế có được xem là 1 cách chia không ?
Có người xem đó là 1 cách chia.Nếu vậy thì đó là cách chia duy nhất, tức là chỉ có 1 cách chia (những cách khác là đồng nhất với cách này, vì tất cả các viên kẹo đều giống nhau).
Nhưng có người không cho đó là 1 cách chia, vì họ hiểu rằng phải chia toàn bộ 100 cái kẹo cho 30 người, mỗi người 1 cái kẹo (sau khi chia xong không còn cái kẹo nào dư).Nếu hiểu đề như thế thì rõ ràng đáp án là 0 cách.
Tóm lại, đáp án là 1 hoặc 0 cách tùy theo cách hiểu đề.
Nếu đây là đề thi chắc chắn sẽ gây tranh cãi và cuối cùng cả 2 đáp án này đều được xem là đúng (còn các đáp án khác dĩ nhiên là sai) để đảm bảo quyền lợi cho thí sinh.(Còn tổ ra đề đương nhiên phải viết kiểm điểm và chịu kỷ luật)
Đề chuẩn phải sửa lại thế này :
Có 100 cái kẹo giống nhau.Hỏi có bao nhiêu cách phát (“phát” chứ không phải “chia”) cho 30 người, mỗi người đúng 1 cái kẹo ? (Đáp án là 1 cách).