Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán tổ hợp rất thú vị và quen thuộc trong chương trình Toán 12 của chúng ta. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm số cách chọn các tấm thẻ sao cho thỏa mãn một điều kiện về sự khác biệt giữa các số trên thẻ. Đây là dạng bài tập rèn luyện tư duy logic và kỹ năng áp dụng công thức tổ hợp rất tốt.

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo từng bước một để đảm bảo các em hiểu rõ bản chất của vấn đề nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi các số trên tấm thẻ được chọn và thiết lập điều kiện.
Giả sử bốn tấm thẻ được rút ngẫu nhiên có các số ghi trên đó là \(x_1, x_2, x_3, x_4\). Vì bạn Hải rút các tấm thẻ cùng một lúc, thứ tự rút không quan trọng. Do đó, chúng ta có thể sắp xếp các số này theo thứ tự tăng dần. Ta có:

\[
1 \le x_1 < x_2 < x_3 < x_4 \le 26 \]

Điều kiện của bài toán là “bất kỳ hai trong bốn tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị”. Điều này có nghĩa là hiệu của hai số liên tiếp trong dãy phải lớn hơn hoặc bằng 2. Cụ thể là:

• \(x_2 – x_1 \ge 2\)
• \(x_3 – x_2 \ge 2\)
• \(x_4 – x_3 \ge 2\)

Bước 2: Thực hiện phép biến đổi để loại bỏ điều kiện “hơn kém ít nhất 2”.
Để chuyển bài toán về dạng tổ hợp cơ bản hơn (chọn các số phân biệt không có điều kiện về khoảng cách tối thiểu), chúng ta sẽ đặt các biến mới. Đây là một kỹ thuật rất hiệu quả và thường dùng cho dạng toán này.

Đặt các biến mới như sau:

• \(y_1 = x_1\)
• \(y_2 = x_2 – 1\)
• \(y_3 = x_3 – 2\)
• \(y_4 = x_4 – 3\)

Bước 3: Kiểm tra các điều kiện cho các biến mới.

a) Kiểm tra thứ tự tăng dần của các biến \(y_i\):

• Từ điều kiện \(x_2 – x_1 \ge 2\), ta suy ra \(x_2 – 1 \ge x_1 + 1\). Vì \(x_1\) là số nguyên, \(x_1 + 1 > x_1\). Do đó, \(y_2 > y_1\).
• Từ điều kiện \(x_3 – x_2 \ge 2\), ta suy ra \(x_3 – 2 \ge x_2\). Mà \(y_3 = x_3 – 2\) và \(y_2 = x_2 – 1\). Khi đó, hiệu \(y_3 – y_2 = (x_3 – 2) – (x_2 – 1) = x_3 – x_2 – 1\). Vì \(x_3 – x_2 \ge 2\), nên \(x_3 – x_2 – 1 \ge 1\). Vậy \(y_3 > y_2\).
• Từ điều kiện \(x_4 – x_3 \ge 2\), ta suy ra \(x_4 – 3 \ge x_3 – 1\). Mà \(y_4 = x_4 – 3\) và \(y_3 = x_3 – 2\). Khi đó, hiệu \(y_4 – y_3 = (x_4 – 3) – (x_3 – 2) = x_4 – x_3 – 1\). Vì \(x_4 – x_3 \ge 2\), nên \(x_4 – x_3 – 1 \ge 1\). Vậy \(y_4 > y_3\).

Như vậy, chúng ta có một dãy các số nguyên dương tăng nghiêm ngặt: \(y_1 < y_2 < y_3 < y_4\). Điều này có nghĩa là các số \(y_1, y_2, y_3, y_4\) là các số nguyên phân biệt.

b) Kiểm tra giới hạn của các biến \(y_i\):

• Giá trị nhỏ nhất: Vì \(x_1 \ge 1\), nên \(y_1 = x_1 \ge 1\).
• Giá trị lớn nhất: Vì \(x_4 \le 26\), và \(y_4 = x_4 – 3\), nên \(y_4 \le 26 – 3 = 23\).

Từ các phân tích trên, bài toán ban đầu của chúng ta đã được chuyển về bài toán tương đương: Chọn 4 số nguyên phân biệt \(y_1, y_2, y_3, y_4\) từ tập hợp các số \(\{1, 2, 3, …, 23\}\).

Bước 4: Áp dụng công thức tổ hợp để tính số cách.
Việc chọn 4 số phân biệt từ 23 số mà không quan tâm đến thứ tự là một bài toán tổ hợp chập 4 của 23 phần tử. Số cách chọn được tính bằng công thức tổ hợp \(\text{C}_n^k\) (hay \(\binom{n}{k}\)), với \(n = 23\) (số lượng phần tử trong tập hợp) và \(k = 4\) (số lượng phần tử cần chọn).

\[
\text{C}_{23}^4 = \frac{23!}{4!(23-4)!} = \frac{23!}{4!19!}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ tính giá trị này:

\[
\text{C}_{23}^4 = \frac{23 \times 22 \times 21 \times 20}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
\]

Để đơn giản hóa phép tính, chúng ta thực hiện các phép rút gọn:

• Ta có \(4 \times 5 = 20\), vậy \(20\) ở tử số có thể rút gọn với \(4\) ở mẫu số để còn lại \(5\).
• Ta có \(22 \div 2 = 11\).
• Ta có \(21 \div 3 = 7\).

Vậy biểu thức trở thành:

\[
\text{C}_{23}^4 = 23 \times 11 \times 7 \times 5
\]

Thực hiện phép nhân:

\[
23 \times 11 = 253
\]
\[
7 \times 5 = 35
\]
\[
253 \times 35 = 8855
\]

Vậy, có 8855 cách rút bốn tấm thẻ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Kết luận:

Qua bài tập này, các em đã được ôn lại và áp dụng một kỹ thuật quan trọng trong giải toán tổ hợp, đó là biến đổi biến số để đưa bài toán về dạng cơ bản. Hãy nhớ rằng, việc hiểu rõ bản chất của vấn đề và biết cách “đổi áo” cho bài toán sẽ giúp chúng ta giải quyết được nhiều dạng bài phức tạp hơn. Chúc các em học tốt!