Một khu vườn có chu vi 140m. Người ta làm một lối đi chung xung quanh vườn có ch…
Đề bài cho chúng ta biết về một khu vườn, và có một lối đi xung quanh nó. Chúng ta cần tìm kích thước của khu vườn ban đầu.
Đầu tiên, các em hãy đọc kỹ đề bài và gạch chân dưới những dữ kiện quan trọng.
Chúng ta có:
– Chu vi của khu vườn ban đầu là 140m.
– Chiều rộng lối đi là 1m.
– Diện tích phần vườn còn lại (sau khi làm lối đi) là 1064m^2.
Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán và tìm ra lời giải.
Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng.
Chúng ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Gọi chiều dài của khu vườn là a (m) và chiều rộng của khu vườn là b (m).
Điều kiện: a > 0 và b > 0.
Vì thông thường chiều dài sẽ lớn hơn chiều rộng, ta có thể giả sử a >= b.
Bước 2: Sử dụng dữ kiện về chu vi để lập một phương trình.
Công thức tính chu vi của hình chữ nhật là:
C = 2 * (chiều dài + chiều rộng)
Theo đề bài, chu vi khu vườn là 140m. Vậy ta có:
140 = 2 * (a + b)
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
a + b = 140 / 2
a + b = 70 (1)
Bước 3: Biểu diễn kích thước của khu vườn sau khi làm lối đi.
Lối đi có chiều rộng là 1m được làm xung quanh vườn. Điều này có nghĩa là chiều dài và chiều rộng của phần vườn còn lại sẽ giảm đi.
– Chiều dài của phần vườn còn lại sẽ giảm đi 1m ở mỗi bên, tổng cộng là 1m + 1m = 2m. Vậy chiều dài mới là a – 2 (m).
– Chiều rộng của phần vườn còn lại cũng sẽ giảm đi 1m ở mỗi bên, tổng cộng là 1m + 1m = 2m. Vậy chiều rộng mới là b – 2 (m).
Điều kiện để có vườn còn lại là a – 2 > 0 và b – 2 > 0, tức là a > 2 và b > 2.
Bước 4: Sử dụng dữ kiện về diện tích phần vườn còn lại để lập một phương trình.
Công thức tính diện tích của hình chữ nhật là:
Diện tích = chiều dài * chiều rộng
Diện tích phần vườn còn lại là 1064m^2. Vậy ta có:
(a – 2) * (b – 2) = 1064 (2)
Bước 5: Biến đổi phương trình (2) và kết hợp với phương trình (1).
Ta khai triển phương trình (2):
ab – 2a – 2b + 4 = 1064
ab – 2(a + b) + 4 = 1064
Bây giờ, chúng ta đã có phương trình (1) là a + b = 70. Ta sẽ thay giá trị của (a + b) vào phương trình vừa khai triển:
ab – 2 * (70) + 4 = 1064
ab – 140 + 4 = 1064
ab – 136 = 1064
Chuyển -136 sang vế phải, ta được:
ab = 1064 + 136
ab = 1200 (3)
Bước 6: Giải hệ phương trình tìm a và b.
Chúng ta có hai phương trình:
(1) a + b = 70
(3) ab = 1200
Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách thế hoặc sử dụng định lý Vi-et.
Cô sẽ hướng dẫn các em theo cách thế nhé.
Từ phương trình (1), ta rút ra: b = 70 – a.
Thế giá trị của b vào phương trình (3):
a * (70 – a) = 1200
70a – a^2 = 1200
Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để được phương trình bậc hai theo ẩn a:
a^2 – 70a + 1200 = 0
Bước 7: Giải phương trình bậc hai.
Để giải phương trình bậc hai a^2 – 70a + 1200 = 0, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.
Ở đây, cô thấy rằng 1200 có thể tách thành tích của hai số có tổng bằng 70.
Chúng ta có thể nhẩm hoặc dùng máy tính để tìm. Hai số đó là 30 và 40.
Vì 30 + 40 = 70 và 30 * 40 = 1200.
Vậy phương trình có thể viết lại như sau:
a^2 – 30a – 40a + 1200 = 0
a(a – 30) – 40(a – 30) = 0
(a – 30)(a – 40) = 0
Phương trình này có hai nghiệm:
a – 30 = 0 => a = 30
a – 40 = 0 => a = 40
Bước 8: Tìm giá trị tương ứng của b và kiểm tra điều kiện.
Trường hợp 1: Nếu a = 30m.
Thay a = 30 vào phương trình (1):
30 + b = 70
b = 70 – 30
b = 40m.
Trong trường hợp này, chiều dài (30m) lại nhỏ hơn chiều rộng (40m), điều này không phù hợp với quy ước thông thường. Tuy nhiên, về mặt toán học, nó vẫn là một nghiệm hợp lệ nếu ta không quy định rõ ràng a phải lớn hơn b.
Kiểm tra điều kiện: a = 30 > 2, b = 40 > 2. Cả hai đều thỏa mãn.
Kích thước vườn còn lại: chiều dài 30 – 2 = 28m, chiều rộng 40 – 2 = 38m.
Diện tích vườn còn lại: 28 * 38 = 1064m^2. (Đúng với đề bài)
Trường hợp 2: Nếu a = 40m.
Thay a = 40 vào phương trình (1):
40 + b = 70
b = 70 – 40
b = 30m.
Trong trường hợp này, chiều dài (40m) lớn hơn chiều rộng (30m), phù hợp với quy ước.
Kiểm tra điều kiện: a = 40 > 2, b = 30 > 2. Cả hai đều thỏa mãn.
Kích thước vườn còn lại: chiều dài 40 – 2 = 38m, chiều rộng 30 – 2 = 28m.
Diện tích vườn còn lại: 38 * 28 = 1064m^2. (Đúng với đề bài)
Vậy, khu vườn có hai khả năng về kích thước. Tuy nhiên, với quy ước chiều dài lớn hơn hoặc bằng chiều rộng, chúng ta sẽ chọn trường hợp thứ hai.
Kết luận:
Chiều dài của khu vườn là 40m.
Chiều rộng của khu vườn là 30m.
Các em thấy không, bài toán này giúp chúng ta ôn lại kiến thức về chu vi, diện tích hình chữ nhật và cách giải phương trình bậc hai.
Quan trọng là phải đọc kỹ đề, phân tích dữ kiện và lập phương trình chính xác.
Các em về nhà làm lại bài này và xem lại các ví dụ tương tự trong sách giáo khoa nhé.
Nếu có thắc mắc gì, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy/cô.
Chúc các em học tốt!
Đáp án: Dài \(40m,\) rộng \(30m\)
Giải thích các bước giải:
Gọi chiều dài khu vườn là \(x, x>0\)
\(\to\)Chiều rộng khu vườn là: \(\dfrac{140}{2}-x=70-x\)
Ta có người ta làm lối đi xung quanh vườn có chiều rộng lối đi là \(1m\) và diện tích vườn còn lại là \(1064\)
\(\to (x-1-1)(70-x-1-1)=1064\)
\(\to (x-2)(68-x)=1064\)
\(\to -x^2+70x-136=1064\)
\(\to -x^2+70x-1200=0\)
\(\to x\in\{30,40\}\)
Ta có chiều dài lớn hơn bằng chiều rộng \(\to x\ge 70-x\to 2x\ge 70\to x\ge 35\)
\(\to x=40\to\)Chiều rộng là \(30\)