Trước tiên, chúng ta cần tóm tắt đề bài để có cái nhìn rõ ràng nhất.

Tóm tắt đề bài:
– Độ cứng của lò xo: k = 50 N/m
– Góc nghiêng của mặt phẳng: \( \alpha = 30^\circ \)
– Khối lượng của vật: m = 200 g = 0.2 kg
– Chiều dài tự nhiên của lò xo: \( l_0 = 50 \) cm = 0.5 m
– Bỏ qua ma sát.

Chúng ta cần tính:
a) Chiều dài của lò xo khi vật cân bằng.
b) Phản lực của mặt nghiêng lên vật.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bước một.

Bước 1: Phân tích lực tác dụng lên vật.
Khi vật đứng yên trên mặt phẳng nghiêng, chịu tác dụng của các lực sau:
– Trọng lực \( \vec{P} \) của vật, có phương thẳng đứng, chiều hướng xuống.
– Lực đàn hồi \( \vec{F}_{đh} \) của lò xo, có phương dọc theo trục lò xo, chiều hướng lên (vì lò xo bị kéo giãn).
– Phản lực \( \vec{N} \) của mặt phẳng nghiêng lên vật, có phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng, chiều hướng lên.

Do chúng ta bỏ qua ma sát, nên chỉ có ba lực này tác dụng lên vật.

Bước 2: Chọn hệ quy chiếu và phân tích trọng lực.
Chúng ta sẽ chọn hệ quy chiếu sao cho trục Ox nằm dọc theo mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống, và trục Oy vuông góc với mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng lên.
Trọng lực \( \vec{P} \) có thể phân tích thành hai thành phần:
– Thành phần \( P_x \) song song với mặt phẳng nghiêng, có độ lớn \( P_x = P \sin \alpha = mg \sin \alpha \). Thành phần này có chiều hướng xuống, cùng chiều dương của trục Ox.
– Thành phần \( P_y \) vuông góc với mặt phẳng nghiêng, có độ lớn \( P_y = P \cos \alpha = mg \cos \alpha \). Thành phần này có chiều hướng xuống, ngược chiều dương của trục Oy.

Ở đây, ta lấy gia tốc trọng trường \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).

Bước 3: Áp dụng điều kiện cân bằng cho vật.
Vì vật đứng yên, nên vật ở trạng thái cân bằng. Theo định luật I Newton, hợp lực của các lực tác dụng lên vật phải bằng không. Ta sẽ chiếu các lực lên hai trục Ox và Oy.

Chiếu lên trục Ox:
Vật cân bằng nên tổng hình chiếu của các lực lên trục Ox bằng không.
Ta có lực \( P_x \) hướng xuống (cùng chiều dương) và lực đàn hồi \( F_{đh} \) hướng lên (ngược chiều dương).
Do đó: \( P_x – F_{đh} = 0 \)
\( \Rightarrow F_{đh} = P_x = mg \sin \alpha \)

Chiếu lên trục Oy:
Vật cân bằng nên tổng hình chiếu của các lực lên trục Oy bằng không.
Ta có lực \( N \) hướng lên (cùng chiều dương) và thành phần \( P_y \) hướng xuống (ngược chiều dương).
Do đó: \( N – P_y = 0 \)
\( \Rightarrow N = P_y = mg \cos \alpha \)

Bước 4: Tính toán chiều dài của lò xo khi vật cân bằng.
Từ phương trình cân bằng trên trục Ox, ta có:
\( F_{đh} = mg \sin \alpha \)
Thay số vào, ta tính được độ lớn của lực đàn hồi:
\( F_{đh} = 0.2 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times \sin 30^\circ \)
\( \sin 30^\circ = 0.5 \)
\( F_{đh} = 0.2 \times 10 \times 0.5 = 1 \, \text{N} \)

Ta biết công thức tính lực đàn hồi của lò xo là:
\( F_{đh} = k |\Delta l| \)
trong đó \( |\Delta l| \) là độ biến dạng của lò xo (độ giãn hoặc độ nén).
Vì vật kéo lò xo giãn ra, nên \( |\Delta l| = l – l_0 \), với \( l \) là chiều dài của lò xo khi vật cân bằng.
Vậy: \( k (l – l_0) = mg \sin \alpha \)

Ta có: \( k = 50 \, \text{N/m} \)
\( m = 0.2 \, \text{kg} \)
\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
\( \alpha = 30^\circ \)
\( l_0 = 0.5 \, \text{m} \)

Thay các giá trị vào phương trình:
\( 50 (l – 0.5) = 0.2 \times 10 \times 0.5 \)
\( 50 (l – 0.5) = 1 \)
\( l – 0.5 = \frac{1}{50} \)
\( l – 0.5 = 0.02 \)
\( l = 0.5 + 0.02 \)
\( l = 0.52 \, \text{m} \)

Vậy, chiều dài của lò xo khi vật cân bằng là 0.52 mét hay 52 cm.

Bước 5: Tính toán phản lực của mặt nghiêng lên vật.
Từ phương trình cân bằng trên trục Oy, ta có:
\( N = mg \cos \alpha \)
Thay số vào, ta tính được độ lớn của phản lực:
\( N = 0.2 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times \cos 30^\circ \)
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)
\( N = 0.2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( N = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( N = \sqrt{3} \, \text{N} \)
Hoặc làm tròn: \( N \approx 0.2 \times 10 \times 0.866 = 1.732 \, \text{N} \)

Vậy, phản lực của mặt nghiêng lên vật có độ lớn là \( \sqrt{3} \) Newton (hoặc xấp xỉ 1.732 N).

Kết luận:
a) Chiều dài của lò xo khi vật cân bằng là 0.52 m (hoặc 52 cm).
b) Phản lực của mặt nghiêng lên vật có độ lớn là \( \sqrt{3} \) N (hoặc xấp xỉ 1.732 N).

Các em thân mến, bài tập này giúp chúng ta ôn lại cách phân tích lực, áp dụng điều kiện cân bằng và sử dụng các công thức liên quan đến lò xo. Các em hãy xem lại bài giải thật kỹ và nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt môn Vật lý!