Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về hình chữ nhật, liên quan đến diện tích và sự thay đổi kích thước. Bài toán này sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng đặt ẩn, lập phương trình và giải phương trình. Cô tin rằng với sự tập trung và phương pháp đúng đắn, các em sẽ giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Chúng ta sẽ đi từng bước một để hiểu rõ vấn đề nhé.

Bước 1: Tóm tắt và phân tích đề bài
Đề bài cho chúng ta biết:
– Mảnh đất hình chữ nhật có diện tích ban đầu là 720m².
– Nếu tăng chiều dài lên 6m và giảm chiều rộng đi 4m, thì diện tích vẫn không đổi, vẫn là 720m².
– Yêu cầu là tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn.

Bước 2: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng
Để giải bài toán này, chúng ta cần gọi các kích thước ban đầu của mảnh vườn là ẩn.
Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là x (mét).
Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là y (mét).

Vì đây là kích thước của một hình chữ nhật, nên ta có điều kiện: x > 0 và y > 0.

Dựa vào thông tin diện tích ban đầu, ta có phương trình đầu tiên:
Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức: Diện tích = Chiều dài × Chiều rộng .
Do đó, ta có phương trình:
\( x \times y = 720 \) (1)

Bây giờ, chúng ta xét đến trường hợp khi thay đổi kích thước:
– Chiều dài mới: x + 6 (mét)
– Chiều rộng mới: y – 4 (mét)

Với các kích thước mới này, diện tích của mảnh vườn vẫn không đổi, tức là vẫn bằng 720m².
Vậy, ta có phương trình thứ hai dựa trên diện tích mới:
\( (x + 6) \times (y – 4) = 720 \) (2)

Bước 3: Lập hệ phương trình và giải
Chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn x và y:
1) \( x \times y = 720 \)
2) \( (x + 6) \times (y – 4) = 720 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển phương trình (2):
\( xy – 4x + 6y – 24 = 720 \)

Quan sát phương trình này, ta thấy có xuất hiện tích xy. Từ phương trình (1), ta biết xy = 720. Chúng ta sẽ thay thế xy trong phương trình khai triển này.
Thay xy = 720 vào phương trình khai triển:
\( 720 – 4x + 6y – 24 = 720 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn phương trình này:
\( -4x + 6y – 24 = 0 \)
\( -4x + 6y = 24 \)
Chia cả hai vế cho 2 để phương trình gọn hơn:
\( -2x + 3y = 12 \) (3)

Bây giờ chúng ta cần giải hệ phương trình gồm phương trình (1) và (3):
1) \( xy = 720 \)
3) \( -2x + 3y = 12 \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại. Ví dụ, ta biểu diễn x theo y:
\( x = \frac{720}{y} \) (vì y > 0 nên ta có thể chia cho y)

Tiếp theo, chúng ta sẽ thế biểu thức của x vào phương trình (3):
\( -2 \times \left(\frac{720}{y}\right) + 3y = 12 \)
\( -\frac{1440}{y} + 3y = 12 \)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số. Nhân cả hai vế của phương trình với y (lưu ý y khác 0):
\( -1440 + 3y^2 = 12y \)

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai dạng chuẩn:
\( 3y^2 – 12y – 1440 = 0 \)

Để phương trình này gọn gàng hơn, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 3:
\( y^2 – 4y – 480 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Ở đây, chúng ta sẽ thử phân tích thành nhân tử. Ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng -480 và tổng của chúng bằng -4.
Hai số đó là -24 và 20.
\( y^2 – 24y + 20y – 480 = 0 \)
\( y(y – 24) + 20(y – 24) = 0 \)
\( (y + 20)(y – 24) = 0 \)

Từ đây, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( y + 20 = 0 \implies y = -20 \)
Trường hợp 2: \( y – 24 = 0 \implies y = 24 \)

Vì y là chiều rộng của mảnh vườn, nên y phải là một số dương. Do đó, ta loại trường hợp y = -20.
Vậy, ta có chiều rộng ban đầu là \( y = 24 \) mét.

Bước 4: Tìm kích thước còn lại và kiểm tra kết quả
Bây giờ chúng ta đã tìm được chiều rộng y = 24 mét. Chúng ta sẽ sử dụng phương trình (1) để tìm chiều dài x:
\( x = \frac{720}{y} = \frac{720}{24} \)

Để tính 720 chia 24, ta có thể nhẩm hoặc làm phép chia:
\( 720 \div 24 = 30 \)
Vậy, chiều dài ban đầu là \( x = 30 \) mét.

Chúng ta đã có chiều dài 30m và chiều rộng 24m. Bây giờ, hãy kiểm tra xem các điều kiện của đề bài có thỏa mãn không:
– Diện tích ban đầu: \( 30 \times 24 = 720 \) m² (Đúng)

– Kích thước mới:
– Chiều dài mới: \( 30 + 6 = 36 \) mét
– Chiều rộng mới: \( 24 – 4 = 20 \) mét
– Diện tích mới: \( 36 \times 20 = 720 \) m² (Đúng)

Cả hai điều kiện đều thỏa mãn, vậy kết quả của chúng ta là đúng.

Bước 5: Kết luận
Vậy, các kích thước của mảnh vườn đó là:
Chiều dài ban đầu: 30 mét.
Chiều rộng ban đầu: 24 mét.

Các em thấy đó, bằng cách đặt ẩn hợp lý, lập phương trình và giải phương trình, chúng ta đã tìm ra được đáp án của bài toán. Quan trọng là các em cần đọc kỹ đề bài, phân tích thông tin và áp dụng đúng các công thức đã học. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!