Cô hiểu em đang cần gấp, chúng ta cùng nhau giải quyết bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé. Đây là một dạng toán tổ hợp rất hay gặp trong chương trình lớp 11.

Với bài toán yêu cầu tìm số cách chọn “có ít nhất 1…”, phương pháp hiệu quả và nhanh nhất thường là sử dụng phần bù.

Ý tưởng của phương pháp:

• Thay vì đếm trực tiếp các trường hợp có ít nhất 1 đôi (gồm: 1 đôi và 2 chiếc lẻ; hoặc 2 đôi), việc này khá phức tạp và dễ nhầm lẫn.
• Ta sẽ làm ngược lại:
  1. Tính tổng số cách chọn 4 chiếc giầy bất kỳ (không gian mẫu).
  2. Tính số cách chọn 4 chiếc giầy mà không có đôi nào (đây chính là phần bù của “có ít nhất 1 đôi”).
  3. Lấy “Tổng số cách” trừ đi “số cách không có đôi nào” sẽ ra kết quả cần tìm.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước cụ thể.

BƯỚC 1: TÍNH TỔNG SỐ CÁCH CHỌN 4 CHIẾC GIẦY BẤT KỲ

• Người đó có 10 đôi giầy, tức là có tổng cộng \(10 \times 2 = 20\) chiếc giầy riêng lẻ.
• Việc chọn 4 chiếc giầy từ 20 chiếc này là một tổ hợp vì không phân biệt thứ tự chọn.
• Áp dụng công thức tổ hợp \(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), ta có:
• Số cách chọn 4 chiếc bất kỳ từ 20 chiếc là:
  \(C_{20}^{4} = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845\) cách.

BƯỚC 2: TÍNH SỐ CÁCH CHỌN 4 CHIẾC MÀ KHÔNG CÓ ĐÔI NÀO

Để 4 chiếc giầy được chọn không tạo thành một đôi nào, điều này có nghĩa là mỗi chiếc phải thuộc một đôi giầy khác nhau. Ta thực hiện qua 2 công đoạn liên tiếp:

• Công đoạn 1: Chọn 4 đôi giầy từ 10 đôi có sẵn.
  Số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi là:
  \(C_{10}^{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210\) cách.
• Công đoạn 2: Từ 4 đôi vừa chọn, lấy ra 4 chiếc sao cho mỗi đôi chỉ lấy 1 chiếc.
  – Từ đôi thứ nhất, có 2 cách chọn (chọn chiếc trái hoặc chiếc phải).
  – Từ đôi thứ hai, cũng có 2 cách chọn.
  – Tương tự cho đôi thứ ba và thứ tư.
  Theo quy tắc nhân, số cách chọn trong công đoạn này là:
  \(2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân cho cả 2 công đoạn, số cách chọn 4 chiếc giầy mà không có đôi nào là:

\(C_{10}^{4} \times 2^4 = 210 \times 16 = 3360\) cách.

BƯỚC 3: TÍNH SỐ CÁCH CHỌN CÓ ÍT NHẤT 1 ĐÔI

Bây giờ, ta chỉ cần lấy tổng số cách chọn trừ đi số cách chọn không có đôi nào:

Số cách cần tìm = (Số cách chọn 4 chiếc bất kỳ) – (Số cách chọn 4 chiếc không có đôi nào)

Số cách = \(4845 – 3360 = 1485\) cách.

KẾT LUẬN:
Vậy, có 1485 cách để chọn 4 chiếc giầy sao cho có ít nhất 1 đôi.

Đây là một dạng bài tập rất điển hình, em hãy ghi nhớ phương pháp dùng phần bù để giải quyết các bài toán “có ít nhất một” nhé.

Chúc em học tốt