Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chuyển động khá quen thuộc nhưng cũng đầy thú vị, thường xuất hiện trong các đề thi và kiểm tra của chương trình Toán lớp 9. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt kiến thức về mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian.

Chúng ta sẽ cùng phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết, từng bước một nhé.

Bước 1: Phân tích đề bài và đặt ẩn

Đề bài cho chúng ta biết về một người đi từ A đến B với một thời gian dự định ban đầu. Sau đó, có hai trường hợp thay đổi vận tốc và ảnh hưởng đến thời gian đến đích. Chúng ta cần tìm vận tốc, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.

Đây là một bài toán có ba đại lượng cần tìm: vận tốc dự định, thời gian dự định và quãng đường AB. Thông thường, với những bài toán chuyển động, chúng ta sẽ gọi ẩn là một trong các đại lượng này và biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn đó.

Ở đây, chúng ta có thể đặt:
* Gọi v (km/h) là vận tốc dự định của người đó.
* Gọi t (giờ) là thời gian dự định đi từ A đến B.

Dựa vào mối quan hệ cơ bản của chuyển động đều: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian. Ta có công thức:
\( s = v \times t \)

Từ đó, độ dài quãng đường AB là:
\( s = v \times t \) (km)

Bước 2: Xây dựng phương trình dựa trên các trường hợp đã cho

Đề bài đưa ra hai trường hợp thay đổi vận tốc và thời gian:

Trường hợp 1: Tăng vận tốc 10km/h
* Vận tốc mới: v + 10 (km/h)
* Thời gian đến B: t – 1 (giờ) (vì đến sớm hơn dự định 1 giờ)
* Quãng đường AB vẫn là s.

Áp dụng công thức \( s = v \times t \), ta có phương trình cho trường hợp này:
\( s = (v + 10) \times (t – 1) \)

Trường hợp 2: Giảm vận tốc 10km/h
* Vận tốc mới: v – 10 (km/h)
* Thời gian đến B: t + 2 (giờ) (vì đến muộn hơn dự định 2 giờ)
* Quãng đường AB vẫn là s.

Áp dụng công thức \( s = v \times t \), ta có phương trình cho trường hợp này:
\( s = (v – 10) \times (t + 2) \)

Bước 3: Thiết lập hệ phương trình

Chúng ta có quãng đường AB là không đổi trong cả ba trường hợp (dự định, tăng tốc, giảm tốc). Do đó, ta có thể cho các biểu thức của s bằng nhau.

Từ phương trình quãng đường dự định và trường hợp 1:
\( v \times t = (v + 10) \times (t – 1) \) (1)

Từ phương trình quãng đường dự định và trường hợp 2:
\( v \times t = (v – 10) \times (t + 2) \) (2)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi giải hệ phương trình này.

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ khai triển các phương trình trong hệ:

Khái triển phương trình (1):
\( vt = vt – v + 10t – 10 \)
\( 0 = -v + 10t – 10 \)
\( v – 10t = -10 \) (1′)

Khái triển phương trình (2):
\( vt = vt + 2v – 10t – 20 \)
\( 0 = 2v – 10t – 20 \)
\( 2v – 10t = 20 \) (2′)

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình tuyến tính hai ẩn v và t:

\( \begin{cases} v – 10t = -10 \\ 2v – 10t = 20 \end{cases} \)

Để giải hệ này, cô sẽ sử dụng phương pháp trừ vế theo vế vì hệ số của t trong hai phương trình là giống nhau.
Lấy phương trình (2′) trừ đi phương trình (1′):
\( (2v – 10t) – (v – 10t) = 20 – (-10) \)
\( 2v – 10t – v + 10t = 20 + 10 \)
\( v = 30 \)

Sau khi tìm được v = 30, chúng ta sẽ thay giá trị của v vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm t. Cô sẽ thay vào phương trình (1′):
\( 30 – 10t = -10 \)
\( -10t = -10 – 30 \)
\( -10t = -40 \)
\( t = \frac{-40}{-10} \)
\( t = 4 \)

Vậy, ta đã tìm được vận tốc dự định là v = 30 km/h và thời gian dự định là t = 4 giờ.

Bước 5: Tính độ dài quãng đường AB

Bây giờ, chúng ta có thể dễ dàng tính độ dài quãng đường AB bằng công thức \( s = v \times t \):
\( s = 30 \times 4 \)
\( s = 120 \) (km)

Vậy, độ dài quãng đường AB là 120 km.

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả (quan trọng để đảm bảo bài toán chính xác)

Để chắc chắn rằng kết quả của chúng ta là đúng, chúng ta hãy thử kiểm tra lại với các điều kiện của đề bài.

Vận tốc dự định: 30 km/h, thời gian dự định: 4 giờ. Quãng đường: 30 4 = 120 km.

* Trường hợp 1: Tăng vận tốc 10km/h.
Vận tốc mới: 30 + 10 = 40 km/h.
Thời gian đến: 120 / 40 = 3 giờ.
So với thời gian dự định 4 giờ, đến sớm hơn 4 – 3 = 1 giờ. (Khớp với đề bài)

* Trường hợp 2: Giảm vận tốc 10km/h.
Vận tốc mới: 30 – 10 = 20 km/h.
Thời gian đến: 120 / 20 = 6 giờ.
So với thời gian dự định 4 giờ, đến muộn hơn 6 – 4 = 2 giờ. (Khớp với đề bài)

Mọi thứ đều khớp với đề bài, vì vậy kết quả của chúng ta là hoàn toàn chính xác.

Kết luận

Vận tốc dự định của người đó là 30 km/h.
Thời gian dự định đi từ A đến B là 4 giờ.
Độ dài quãng đường AB là 120 km.

Các em thấy đó, với một bài toán tưởng chừng phức tạp, chỉ cần chúng ta phân tích kỹ đề bài, đặt ẩn hợp lý, vận dụng đúng công thức và giải hệ phương trình một cách cẩn thận, chúng ta hoàn toàn có thể tìm ra lời giải. Hãy luôn nhớ kiểm tra lại kết quả của mình nhé!