Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán về chuyển động chậm dần đều của đoàn tàu. Đây là dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ các giai đoạn chuyển động và áp dụng đúng các công thức. Hãy cùng thầy đi từng bước một nhé!

Phân tích đề bài và thiết lập hệ quy chiếu:

• Đoàn tàu chuyển động chậm dần đều, nghĩa là gia tốc \(a\) sẽ có giá trị âm.
• Người quan sát đứng ở sân ga. Chúng ta sẽ chọn vị trí người quan sát làm gốc tọa độ \(x = 0\).
• Chọn chiều dương là chiều chuyển động của đoàn tàu.
• Chọn thời điểm ban đầu \(t = 0\) là lúc đầu toa thứ nhất (đầu tàu) bắt đầu đến vị trí người quan sát.
• Gọi \(v_0\) là vận tốc của đoàn tàu tại \(t = 0\).
• Gọi \(a\) là gia tốc của đoàn tàu.
• Trong các bài toán tương tự mà không cho biết chiều dài cụ thể từng toa, chúng ta thường giả sử các toa có chiều dài bằng nhau. Gọi \(L\) là chiều dài của mỗi toa tàu.

Các công thức cơ bản cho chuyển động chậm dần đều:

• Công thức vận tốc: \(v = v_0 + at\)
• Công thức tọa độ: \(x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) (Vì gốc tọa độ tại vị trí ban đầu của đầu tàu, nên \(x_0 = 0\)).
• Công thức độc lập thời gian: \(v^2 – v_0^2 = 2a(x – x_0)\)

Bây giờ chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bước:

Bước 1: Phân tích chuyển động của toa thứ nhất.

Đề bài cho biết toa thứ nhất đi qua trước mặt người đó trong 5s. Điều này có nghĩa là:

• Tại \(t = 0\), đầu toa thứ nhất ở vị trí \(x = 0\).
• Tại \(t = 5s\), đuôi toa thứ nhất ở vị trí \(x = 0\). Lúc này, đầu toa thứ nhất đã đi được một quãng đường bằng chính chiều dài của nó, tức là \(L\).

Áp dụng công thức tọa độ cho đầu toa thứ nhất tại \(t = 5s\):

\[x(5) = L = v_0 (5) + \frac{1}{2} a (5)^2\]
\[L = 5v_0 + 12.5a \quad (1)\]

Giải thích: Chúng ta dùng công thức tọa độ để biểu diễn quãng đường mà đầu tàu đi được trong 5 giây, chính là chiều dài \(L\) của toa thứ nhất.

Bước 2: Phân tích chuyển động của toa thứ hai.

Đề bài cho biết toa thứ hai đi qua trước mặt người đó trong 45s.

• Toa thứ hai bắt đầu đi qua khi đuôi toa thứ nhất vừa qua khỏi người quan sát, tức là tại \(t = 5s\). Lúc này, đầu toa thứ hai (chính là vị trí nối giữa toa 1 và toa 2) đang ở \(x = 0\).
• Toa thứ hai đi qua hết trong 45s, vậy đuôi toa thứ hai sẽ qua khỏi người quan sát tại thời điểm \(t = 5s + 45s = 50s\).
• Tại \(t = 50s\), đầu toa thứ nhất đã đi được quãng đường bằng tổng chiều dài của hai toa, tức là \(2L\).

Áp dụng công thức tọa độ cho đầu toa thứ nhất tại \(t = 50s\):

\[x(50) = 2L = v_0 (50) + \frac{1}{2} a (50)^2\]
\[2L = 50v_0 + 1250a \quad (2)\]

Giải thích: Tương tự như Bước 1, chúng ta tính quãng đường đầu tàu đi được cho đến khi đuôi toa thứ hai qua khỏi người quan sát. Quãng đường này bằng tổng chiều dài hai toa tàu.

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases} L = 5v_0 + 12.5a \\ 2L = 50v_0 + 1250a \end{cases}\]

Thế phương trình (1) vào phương trình (2):

\[2(5v_0 + 12.5a) = 50v_0 + 1250a\]
\[10v_0 + 25a = 50v_0 + 1250a\]

Chuyển các số hạng có \(v_0\) về một vế và các số hạng có \(a\) về vế còn lại:

\[10v_0 – 50v_0 = 1250a – 25a\]
\[-40v_0 = 1225a\]

Từ đây, ta biểu diễn \(v_0\) theo \(a\):

\[v_0 = -\frac{1225}{40}a\]
\[v_0 = -\frac{245}{8}a \quad (3)\]

Giải thích: Chúng ta giải hệ hai phương trình để tìm mối liên hệ giữa vận tốc ban đầu \(v_0\) và gia tốc \(a\). Lưu ý rằng vì tàu chuyển động chậm dần đều, \(a\) sẽ là một giá trị âm, do đó \(v_0\) sẽ là một giá trị dương, phù hợp với thực tế.

Bước 3: Phân tích khi tàu dừng lại.

Khi tàu dừng lại, đầu tàu toa thứ nhất cách người ấy 75m. Điều này có nghĩa là:

• Vận tốc cuối cùng của tàu là \(v_f = 0\).
• Vị trí cuối cùng của đầu toa thứ nhất là \(x_f = 75m\).

Áp dụng công thức độc lập thời gian:

\[v_f^2 – v_0^2 = 2a(x_f – x_0)\]
\[0^2 – v_0^2 = 2a(75 – 0)\]
\[-v_0^2 = 150a \quad (4)\]

Giải thích: Chúng ta dùng công thức độc lập thời gian vì bài toán liên quan đến vận tốc ban đầu, vận tốc cuối cùng, gia tốc và quãng đường mà không cần biết thời gian dừng cụ thể.

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm gia tốc \(a\).

Bây giờ chúng ta có hai phương trình (3) và (4) với hai ẩn \(v_0\) và \(a\):

\[\begin{cases} v_0 = -\frac{245}{8}a \\ -v_0^2 = 150a \end{cases}\]

Thế \(v_0\) từ phương trình (3) vào phương trình (4):

\[-\left(-\frac{245}{8}a\right)^2 = 150a\]
\[-\left(\frac{245}{8}\right)^2 a^2 = 150a\]
\[-\frac{60025}{64} a^2 = 150a\]

Để giải phương trình này, ta chuyển tất cả các số hạng về một vế:

\[\frac{60025}{64} a^2 + 150a = 0\]
\[a \left(\frac{60025}{64} a + 150\right) = 0\]

Phương trình này có hai nghiệm:

• Nghiệm thứ nhất: \(a = 0\). Tuy nhiên, đề bài cho biết tàu chuyển động chậm dần đều, nên \(a \ne 0\). Ta loại nghiệm này.
• Nghiệm thứ hai: \(\frac{60025}{64} a + 150 = 0\)

Giải nghiệm thứ hai:

\[\frac{60025}{64} a = -150\]
\[a = -150 \times \frac{64}{60025}\]
\[a = -\frac{9600}{60025}\]

Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho 25):

\[a = -\frac{384}{2401} \text{ m/s}^2\]

Giải thích: Chúng ta giải phương trình bậc hai để tìm gia tốc. Vì biết tàu chậm dần đều (\(a \ne 0\)), nên ta loại bỏ nghiệm \(a = 0\) và tìm được giá trị gia tốc cần thiết. Gia tốc có giá trị âm là phù hợp với chuyển động chậm dần đều và chiều dương đã chọn.

Kết luận:

Gia tốc của tàu là \(a = -\frac{384}{2401} \text{ m/s}^2\).

Để dễ hình dung, giá trị xấp xỉ là \(a \approx -0.1599 \text{ m/s}^2\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách phân tích và giải quyết dạng bài tập này. Hãy luôn nhớ thiết lập hệ quy chiếu rõ ràng và áp dụng đúng công thức cho từng giai đoạn chuyển động nhé!