Chúng ta cùng phân tích đề bài:

Một ô tô và một mô tô cùng đi từ A đến B dài 120km.
Xe ô tô đến sớm hơn xe mô tô là 1 giờ.
Lúc trở về, xe mô tô tăng vận tốc thêm 5km/h mỗi giờ, xe ô tô vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một địa điểm trên đường hết 40 phút, sau đó về đến A cùng một lúc với xe mô tô.
Tính vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc.

Đây là một bài toán chuyển động khá phức tạp, có hai giai đoạn: đi và về. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình để giải.

Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Trong bài toán này, chúng ta cần tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe.
Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là \( v_1 \) (km/h).
Gọi vận tốc ban đầu của mô tô là \( v_2 \) (km/h).

Điều kiện: \( v_1 > 0 \) và \( v_2 > 0 \).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn.

Chúng ta có quãng đường AB là 120km.

* Giai đoạn đi:
Thời gian ô tô đi từ A đến B là: \( t_{1\_đi} = \frac{120}{v_1} \) (giờ).
Thời gian mô tô đi từ A đến B là: \( t_{2\_đi} = \frac{120}{v_2} \) (giờ).

Theo đề bài, ô tô đến sớm hơn mô tô 1 giờ, nên ta có phương trình:
\( t_{2\_đi} – t_{1\_đi} = 1 \)
Hay: \( \frac{120}{v_2} – \frac{120}{v_1} = 1 \) (1)

* Giai đoạn về:
Vận tốc mới của mô tô lúc về là \( v_2′ = v_2 + 5 \) (km/h).
Thời gian mô tô đi từ B về A là: \( t_{2\_về} = \frac{120}{v_2 + 5} \) (giờ).

Ô tô vẫn giữ nguyên vận tốc là \( v_1 \). Tuy nhiên, ô tô dừng lại nghỉ hết 40 phút.
Đổi 40 phút ra giờ: 40 phút = \( \frac{40}{60} \) giờ = \( \frac{2}{3} \) giờ.
Thời gian ô tô đi từ B về A (không kể thời gian nghỉ) là: \( t_{1\_về\_chạy} = \frac{120}{v_1} \) (giờ).
Tổng thời gian ô tô đi từ B về A (kể cả thời gian nghỉ) là: \( t_{1\_về} = \frac{120}{v_1} + \frac{2}{3} \) (giờ).

Theo đề bài, hai xe về đến A cùng một lúc, nên thời gian di chuyển của hai xe từ B về A là bằng nhau.
\( t_{1\_về} = t_{2\_về} \)
Hay: \( \frac{120}{v_1} + \frac{2}{3} = \frac{120}{v_2 + 5} \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình đã lập.

Chúng ta có một hệ phương trình gồm hai phương trình với hai ẩn \( v_1 \) và \( v_2 \):
(1) \( \frac{120}{v_2} – \frac{120}{v_1} = 1 \)
(2) \( \frac{120}{v_1} + \frac{2}{3} = \frac{120}{v_2 + 5} \)

Để giải hệ này, chúng ta có thể dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( \frac{120}{v_1} \) theo \( v_2 \):
\( \frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_2} – 1 \)

Thế biểu thức này vào phương trình (2):
\( (\frac{120}{v_2} – 1) + \frac{2}{3} = \frac{120}{v_2 + 5} \)
\( \frac{120}{v_2} – \frac{1}{3} = \frac{120}{v_2 + 5} \)

Bây giờ chúng ta quy đồng và giải phương trình này cho \( v_2 \).
Nhân cả hai vế với \( 3v_2(v_2+5) \) để khử mẫu số (với điều kiện \( v_2 \neq 0 \) và \( v_2 \neq -5 \), điều này thỏa mãn vì \( v_2 > 0 \)).
\( 3(v_2+5) \cdot 120 – v_2(v_2+5) \cdot 1 = 3v_2 \cdot 120 \)
\( 360(v_2+5) – v_2^2 – 5v_2 = 360v_2 \)
\( 360v_2 + 1800 – v_2^2 – 5v_2 = 360v_2 \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để được phương trình bậc hai:
\( -v_2^2 – 5v_2 + 1800 = 0 \)
Nhân cả hai vế với -1 để hệ số của \( v_2^2 \) là dương:
\( v_2^2 + 5v_2 – 1800 = 0 \)

Bây giờ chúng ta giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.
Tìm hai số có tích là -1800 và tổng là 5.
Thử các ước của 1800. Ta thấy 40 và -45 có tích là -1800, nhưng tổng là -5.
Ta cần số lớn hơn dương, nên thử 45 và -40.
\( 45 \times (-40) = -1800 \)
\( 45 + (-40) = 5 \)
Vậy hai số đó là 45 và -40.

Ta có thể phân tích phương trình thành:
\( (v_2 + 45)(v_2 – 40) = 0 \)

Suy ra:
\( v_2 + 45 = 0 \) hoặc \( v_2 – 40 = 0 \)
\( v_2 = -45 \) hoặc \( v_2 = 40 \)

Vì \( v_2 \) là vận tốc, nên \( v_2 > 0 \). Do đó, ta loại nghiệm \( v_2 = -45 \).
Vậy vận tốc ban đầu của mô tô là \( v_2 = 40 \) km/h.

Bây giờ, ta tìm vận tốc ban đầu của ô tô \( v_1 \) bằng cách thế \( v_2 = 40 \) vào biểu thức \( \frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_2} – 1 \):
\( \frac{120}{v_1} = \frac{120}{40} – 1 \)
\( \frac{120}{v_1} = 3 – 1 \)
\( \frac{120}{v_1} = 2 \)
\( v_1 = \frac{120}{2} \)
\( v_1 = 60 \) km/h.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả.

Vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.
Vận tốc ban đầu của mô tô là 40 km/h.

* Lúc đi:
Thời gian ô tô đi: \( \frac{120}{60} = 2 \) giờ.
Thời gian mô tô đi: \( \frac{120}{40} = 3 \) giờ.
Ô tô đến sớm hơn mô tô \( 3 – 2 = 1 \) giờ. (Đúng với đề bài)

* Lúc về:
Vận tốc mới của mô tô: \( 40 + 5 = 45 \) km/h.
Thời gian mô tô về: \( \frac{120}{45} = \frac{8}{3} \) giờ.

Ô tô đi với vận tốc 60 km/h, nghỉ 40 phút (\( \frac{2}{3} \) giờ).
Thời gian ô tô về: \( \frac{120}{60} + \frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \) giờ.
Hai xe về cùng lúc (\( \frac{8}{3} \) giờ = \( \frac{8}{3} \) giờ). (Đúng với đề bài)

Kết luận:

Vậy, vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h và vận tốc ban đầu của mô tô là 40 km/h.

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc phân tích đề bài cẩn thận, chọn ẩn hợp lý và lập phương trình chính xác là rất quan trọng. Đừng quên kiểm tra lại kết quả của mình nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.