Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về sóng dừng trên dây đàn hồi rất thú vị. Các em hãy cùng chú ý theo dõi nhé.

Đề bài cho chúng ta biết:
– Một đầu dây cố định, một đầu dây tự do. Đây là trường hợp đặc biệt cần lưu ý khi áp dụng công thức sóng dừng.
– Tốc độ truyền sóng \( v = 336 \) m/s.
– Tần số nhỏ nhất gây ra sóng dừng là \( f_{min} = 42 \) Hz.

Chúng ta sẽ đi lần lượt giải quyết từng câu hỏi của bài toán.

a. Sợi dây đàn hồi có chiều dài là 2 m.

Đối với trường hợp sóng dừng trên dây có một đầu cố định, một đầu tự do, điều kiện để có sóng dừng là chiều dài của dây phải bằng một số bán nguyên lần bước sóng.

Ta có công thức:
\[ l = (2k + 1) \frac{\lambda}{2} \]
trong đó:
– \( l \) là chiều dài của sợi dây.
– \( \lambda \) là bước sóng.
– \( k \) là số nguyên dương \( k = 0, 1, 2, … \)

Tần số nhỏ nhất gây ra sóng dừng ứng với giá trị \( k = 0 \).
Khi \( k = 0 \), ta có:
\( l = (2 \cdot 0 + 1) \frac{\lambda_{min}}{2} = \frac{\lambda_{min}}{2} \)

Chúng ta biết mối liên hệ giữa tốc độ truyền sóng, tần số và bước sóng là \( v = f \lambda \).
Do đó, \( \lambda = \frac{v}{f} \).
Suy ra, \( \lambda_{min} = \frac{v}{f_{min}} \).

Thay số vào, ta tính được bước sóng nhỏ nhất:
\( \lambda_{min} = \frac{336}{42} = 8 \) m.

Bây giờ, ta tính chiều dài của sợi dây:
\( l = \frac{\lambda_{min}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) m.

Vậy, nhận định “Sợi dây đàn hồi có chiều dài là 2 m” là sai. Chiều dài thực tế của sợi dây là 4 m.

b. Bước sóng của sóng là 7 m.

Dựa vào kết quả tính toán ở câu a, chúng ta đã tìm được bước sóng nhỏ nhất gây ra sóng dừng trên dây là \( \lambda_{min} = 8 \) m.
Nhận định này nói rằng bước sóng của sóng là 7 m.

Như vậy, nhận định “Bước sóng của sóng là 7 m” là sai. Bước sóng ứng với tần số nhỏ nhất là 8 m.

c. Khi thay bằng tần số là 294 Hz thì trên dây có 4 bụng sóng.

Chúng ta đã biết chiều dài của sợi dây là \( l = 4 \) m và tốc độ truyền sóng là \( v = 336 \) m/s.
Bây giờ, tần số mới là \( f’ = 294 \) Hz.

Trước hết, ta tính bước sóng tương ứng với tần số mới này:
\( \lambda’ = \frac{v}{f’} = \frac{336}{294} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} \) m.

Với dây có một đầu cố định, một đầu tự do, điều kiện để có sóng dừng là:
\( l = (2k + 1) \frac{\lambda}{2} \)
trong đó \( k = 0, 1, 2, … \) là số bó sóng trừ đi 1.
Số bụng sóng là \( k + 1 \).

Ta cần tìm giá trị của \( k \) khi \( l = 4 \) m và \( \lambda’ = \frac{8}{7} \) m.
Thay vào công thức điều kiện sóng dừng:
\( 4 = (2k + 1) \frac{\frac{8}{7}}{2} \)
\( 4 = (2k + 1) \frac{8}{14} \)
\( 4 = (2k + 1) \frac{4}{7} \)

Chia cả hai vế cho 4:
\( 1 = (2k + 1) \frac{1}{7} \)

Nhân cả hai vế với 7:
\( 7 = 2k + 1 \)

Giải phương trình tìm \( k \):
\( 2k = 7 – 1 \)
\( 2k = 6 \)
\( k = 3 \)

Vì \( k = 3 \) là một số nguyên không âm, nên điều kiện sóng dừng được thỏa mãn với tần số 294 Hz.
Số bụng sóng lúc này là \( k + 1 = 3 + 1 = 4 \).

Vậy, nhận định “Khi thay bằng tần số là 294 Hz thì trên dây có 4 bụng sóng” là đúng.

d. Tổng số bụng sóng và nút sóng khi tần số là 294 Hz là 9.

Ở câu c, chúng ta đã xác định được rằng với tần số \( f’ = 294 \) Hz, trên dây có sóng dừng và giá trị \( k = 3 \).
Trong trường hợp sóng dừng trên dây có một đầu cố định, một đầu tự do:
– Số bụng sóng là \( k + 1 \).
– Số nút sóng là \( k + 1 \).

Với \( k = 3 \):
– Số bụng sóng = \( 3 + 1 = 4 \) bụng.
– Số nút sóng = \( 3 + 1 = 4 \) nút.

Tổng số bụng sóng và nút sóng là:
Tổng = Số bụng sóng + Số nút sóng = \( 4 + 4 = 8 \).

Vậy, nhận định “Tổng số bụng sóng và nút sóng khi tần số là 294 Hz là 9” là sai. Tổng số bụng và nút sóng là 8.

Các em thấy bài toán này có hay không nào? Quan trọng là chúng ta phải nắm vững điều kiện sóng dừng cho từng trường hợp (hai đầu cố định, một đầu cố định một đầu tự do) và mối liên hệ giữa tốc độ, tần số, bước sóng. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé.