Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán thực tế rất hay về hình chữ nhật bằng phương pháp lập hệ phương trình, một phương pháp vô cùng quan trọng mà chúng ta đã học trong chương trình Toán 9 (thuộc các bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hoặc Cánh diều).

Để giải bài toán này một cách khoa học và dễ hiểu nhất, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Đặt ẩn số và tìm điều kiện thích hợp cho các ẩn.

Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Việc đặt ẩn sẽ giúp chúng ta “biến” các đại lượng chưa biết trong bài toán thành các biến số để dễ dàng tính toán.

• Gọi chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là \(x\) (mét).
• Gọi chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật là \(y\) (mét).

Giải thích: Chiều dài và chiều rộng là các đại lượng độ dài, nên chúng phải là số dương. Đồng thời, theo quy ước thông thường, chiều dài thường lớn hơn hoặc bằng chiều rộng.

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\). (Thường thì \(x \geq y\) cũng là một điều kiện hợp lý cho hình chữ nhật).

Bước 2: Lập hệ phương trình.

Ở bước này, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin mà đề bài cung cấp để xây dựng các phương trình liên hệ giữa các ẩn số \(x\) và \(y\).

a) Dựa vào thông tin thứ nhất: “Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m.”

Công thức tính chu vi của hình chữ nhật là: Chu vi = \(2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})\).

Áp dụng công thức với các ẩn đã đặt, ta có phương trình đầu tiên:

\[ 2 \times (x + y) = 250 \]

Chia cả hai vế cho 2, ta được phương trình đơn giản hơn:

\[ x + y = 125 \quad (1) \]

Giải thích: Đây là việc chuyển đổi thông tin về chu vi ban đầu của thửa ruộng thành một phương trình toán học đơn giản hơn, biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng.

b) Dựa vào thông tin thứ hai: “nếu chiều dài giảm 3 lần và tăng chiều dài lên 2 lần thì chu vi của thửa ruộng vẫn không thay đổi?”

Lưu ý quan trọng: Câu “nếu chiều dài giảm 3 lần và tăng chiều dài lên 2 lần” có thể gây nhầm lẫn. Trong các bài toán dạng này ở cấp THCS, thông thường khi thay đổi kích thước mà chu vi không đổi, sẽ có sự thay đổi đồng thời của cả chiều dài và chiều rộng. Cách diễn đạt chuẩn là “nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần”. Nếu chúng ta hiểu theo nghĩa đen là “chiều dài giảm 3 lần” và sau đó “tăng chiều dài (đã giảm) lên 2 lần”, thì chiều dài mới sẽ là \((x/3) \times 2 = 2x/3\), còn chiều rộng vẫn giữ nguyên là \(y\). Khi đó, phương trình chu vi mới sẽ là \(2 \times (2x/3 + y) = 250\), suy ra \(2x/3 + y = x + y\), dẫn đến \(2x/3 = x\), và \(x = 0\), điều này là vô lý (một thửa ruộng không thể có chiều dài bằng 0).

Do đó, để bài toán có nghĩa và phù hợp với chương trình học, chúng ta sẽ hiểu ý của đề bài là: “Nếu chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng lên 2 lần thì chu vi của thửa ruộng vẫn không thay đổi.”

• Chiều dài mới: \(x’ = \frac{x}{3}\) (mét).
• Chiều rộng mới: \(y’ = 2y\) (mét).

Chu vi của thửa ruộng sau khi thay đổi kích thước vẫn là 250m. Áp dụng công thức chu vi với các kích thước mới, ta có phương trình thứ hai:

\[ 2 \times \left(\frac{x}{3} + 2y\right) = 250 \]

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\[ \frac{x}{3} + 2y = 125 \quad (2) \]

Giải thích: Đây là việc mô tả sự thay đổi của các kích thước và cách nó ảnh hưởng đến chu vi, từ đó hình thành phương trình thứ hai.

Từ (1) và (2), chúng ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 125 \quad (1) \\
\frac{x}{3} + 2y = 125 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm giá trị của \(x\) và \(y\).

Từ phương trình (1), ta rút \(x\) theo \(y\):

\[ x = 125 – y \]

Thế biểu thức của \(x\) vào phương trình (2):

\[ \frac{(125 – y)}{3} + 2y = 125 \]

Để loại bỏ mẫu số, ta nhân cả hai vế của phương trình với 3:

\[ 3 \times \left( \frac{125 – y}{3} \right) + 3 \times (2y) = 3 \times 125 \]
\[ 125 – y + 6y = 375 \]

Thu gọn các hạng tử chứa \(y\):

\[ 125 + 5y = 375 \]

Chuyển 125 sang vế phải:

\[ 5y = 375 – 125 \]
\[ 5y = 250 \]

Chia cả hai vế cho 5 để tìm \(y\):

\[ y = \frac{250}{5} \]
\[ y = 50 \]

Vậy, chiều rộng của thửa ruộng là 50 mét.

Bây giờ, thay giá trị \(y = 50\) vào phương trình \(x = 125 – y\) để tìm \(x\):

\[ x = 125 – 50 \]
\[ x = 75 \]

Vậy, chiều dài của thửa ruộng là 75 mét.

Giải thích: Bước này là quá trình biến đổi đại số để tìm ra giá trị cụ thể của các ẩn số. Việc lựa chọn phương pháp thế hay cộng đại số tùy thuộc vào dạng của hệ phương trình và sở thích của người giải.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Chúng ta vừa tìm được \(x = 75\) (mét) và \(y = 50\) (mét).

Kiểm tra điều kiện ban đầu: \(x > 0\) (75 > 0) và \(y > 0\) (50 > 0). Điều kiện này thỏa mãn. (Ngoài ra, \(x = 75\) mét và \(y = 50\) mét thỏa mãn \(x \geq y\)).

Đề bài yêu cầu tính diện tích của thửa ruộng.

Công thức tính diện tích hình chữ nhật là: Diện tích = Chiều dài \(\times\) Chiều rộng.

Diện tích của thửa ruộng là: \(S = x \times y = 75 \times 50\)

\[ S = 3750 \]

Vậy, diện tích của thửa ruộng là 3750 mét vuông (\(\text{m}^2\)).

Giải thích: Sau khi tìm được các ẩn, chúng ta cần kiểm tra lại xem chúng có hợp lý với điều kiện thực tế của bài toán hay không. Cuối cùng, dựa vào yêu cầu của đề bài để tính toán giá trị cần tìm và đưa ra câu trả lời đầy đủ.

Đáp số: Diện tích của thửa ruộng là 3750 \(\text{m}^2\).

Hy vọng qua lời giải chi tiết từng bước này, các em đã nắm vững cách giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình. Chúc các em học tốt!