Chào các em học sinh yêu quý! Thầy/Cô rất vui được cùng các em khám phá một bài toán thú vị về lũy thừa và tìm \(x\) ngày hôm nay. Đây là dạng bài mà chúng ta thường gặp trong chương trình Toán 6, đặc biệt là khi học về các phép tính với số nguyên và lũy thừa.

Chúng ta có bài toán: Tìm \(x\), biết \((2x-15)^5=(2x-15)^3\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ cùng nhau thực hiện từng bước một nhé!

***

Bài giải:

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế của phương trình.
Để giải phương trình, cách làm phổ biến và hiệu quả là chúng ta sẽ đưa tất cả các hạng tử về cùng một vế sao cho vế còn lại bằng 0. Việc này giúp chúng ta dễ dàng sử dụng các tính chất của phép nhân với số 0.

Phương trình đã cho là:
\[ (2x-15)^5 = (2x-15)^3 \]
Chuyển hạng tử \((2x-15)^3\) sang vế trái, ta được:
\[ (2x-15)^5 – (2x-15)^3 = 0 \]

Bước 2: Tìm và đặt thừa số chung ra ngoài.
Các em hãy quan sát kỹ vế trái của phương trình. Chúng ta thấy rằng cả hai hạng tử đều có thừa số \((2x-15)\) và được nâng lên các lũy thừa khác nhau. Lũy thừa chung nhỏ nhất là 3. Vậy, chúng ta có thể đặt \((2x-15)^3\) làm thừa số chung.

Khi đặt thừa số chung \((2x-15)^3\) ra ngoài, ta còn lại:
\[ (2x-15)^3 \cdot \left[ \frac{(2x-15)^5}{(2x-15)^3} – \frac{(2x-15)^3}{(2x-15)^3} \right] = 0 \]
Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số (\(a^m : a^n = a^{m-n}\)), ta được:
\[ (2x-15)^3 \cdot \left[ (2x-15)^{5-3} – 1 \right] = 0 \]
\[ (2x-15)^3 \cdot \left[ (2x-15)^2 – 1 \right] = 0 \]
Giải thích: Việc đặt thừa số chung giúp chúng ta đưa phương trình về dạng một tích bằng 0. Khi một tích bằng 0, thì ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0. Đây là một tính chất rất quan trọng trong giải phương trình.

Bước 3: Áp dụng tính chất “Một tích bằng 0”.
Vì tích của hai thừa số \((2x-15)^3\) và \(\left[ (2x-15)^2 – 1 \right]\) bằng 0, nên chúng ta sẽ xét hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Thừa số thứ nhất bằng 0.
* Trường hợp 2: Thừa số thứ hai bằng 0.

Trường hợp 1: \((2x-15)^3 = 0\)
Nếu một số mũ 3 bằng 0, thì bản thân số đó phải bằng 0.
Vậy:
\[ 2x-15 = 0 \]
Đây là một phương trình bậc nhất đơn giản mà chúng ta đã học.
Cộng 15 vào cả hai vế:
\[ 2x = 15 \]
Chia cả hai vế cho 2:
\[ x = \frac{15}{2} \]

Trường hợp 2: \((2x-15)^2 – 1 = 0\)
Chúng ta sẽ giải phương trình này:
\[ (2x-15)^2 = 1 \]
Giải thích: Chúng ta biết rằng có hai số mà khi bình phương lên sẽ bằng 1, đó là số 1 và số -1 (vì \(1^2 = 1\) và \((-1)^2 = 1\)).
Vậy, chúng ta sẽ có hai khả năng cho \((2x-15)\):

* Khả năng 2a: \(2x-15 = 1\)
Cộng 15 vào cả hai vế:
\[ 2x = 1 + 15 \]
\[ 2x = 16 \]
Chia cả hai vế cho 2:
\[ x = \frac{16}{2} \]
\[ x = 8 \]

* Khả năng 2b: \(2x-15 = -1\)
Cộng 15 vào cả hai vế:
\[ 2x = -1 + 15 \]
\[ 2x = 14 \]
Chia cả hai vế cho 2:
\[ x = \frac{14}{2} \]
\[ x = 7 \]

Bước 4: Kết luận các giá trị của \(x\).
Sau khi giải các trường hợp, chúng ta tìm được các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình ban đầu.
Vậy, các giá trị của \(x\) cần tìm là: \(x = \frac{15}{2}\), \(x = 8\) và \(x = 7\).

Thầy/Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm và củng cố thêm kiến thức về lũy thừa cũng như cách giải phương trình nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại. Chúc các em học tốt!