Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về năng suất và thời gian. Bài toán này nằm trong chương trình lớp 8 của chúng ta và sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình.

Chúng ta cùng phân tích đề bài một chút nhé.

Đề bài cho chúng ta biết:
1. Tổ dự định mỗi ngày làm 120 sản phẩm.
2. Thực tế, mỗi ngày tổ làm được 150 sản phẩm.
3. Vì làm nhanh hơn, tổ đã hoàn thành công việc trước thời gian dự định là 4 ngày.
4. Thậm chí, tổ còn làm thêm được 10 sản phẩm nữa.

Yêu cầu của bài toán là tính số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình.

Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Chúng ta cần tìm “số sản phẩm mà tổ đã dự định làm”. Tuy nhiên, để liên hệ được với các thông tin về năng suất và thời gian, việc chọn ẩn là “thời gian dự định làm” sẽ thuận tiện hơn.

Gọi \(x\) (ngày) là thời gian mà tổ dự định làm xong số sản phẩm.

Vì thời gian phải là một số dương, nên điều kiện của ẩn là \(x > 0\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn \(x\).

* Số sản phẩm tổ dự định làm: Theo dự định, mỗi ngày làm 120 sản phẩm, vậy trong \(x\) ngày, tổ dự định làm được \(120x\) sản phẩm.
* Số sản phẩm thực tế tổ đã làm: Đề bài cho biết tổ đã hoàn thành công việc trước thời gian dự định là 4 ngày. Vậy thời gian thực tế tổ làm là \(x – 4\) ngày.
Tuy nhiên, đề bài còn cho biết “còn làm thêm được 10 sản phẩm nữa”. Điều này có nghĩa là tổng số sản phẩm mà tổ đã làm nhiều hơn số sản phẩm dự định làm là 10.
Vậy, số sản phẩm thực tế tổ đã làm là \(120x + 10\) sản phẩm.

Chúng ta cũng có thể biểu diễn số sản phẩm thực tế theo năng suất thực tế. Thực tế mỗi ngày tổ làm được 150 sản phẩm. Thời gian thực tế tổ làm là bao lâu?
À, đề bài cho biết tổ làm xong trước thời gian dự định là 4 ngày, và còn làm thêm 10 sản phẩm nữa.
Điều này có nghĩa là, số ngày thực tế tổ làm là một số ngày nào đó, và trong khoảng thời gian đó, với năng suất 150 sản phẩm/ngày, tổ đã hoàn thành số sản phẩm dự định cộng thêm 10 sản phẩm.

Hãy suy nghĩ lại một chút.
Số sản phẩm dự định làm: \(S_{dự định} = 120x\)
Số sản phẩm thực tế làm: \(S_{thực tế}\)

Năng suất dự định: \(N_{dự định} = 120\) (sản phẩm/ngày)
Năng suất thực tế: \(N_{thực tế} = 150\) (sản phẩm/ngày)

Thời gian dự định: \(T_{dự định} = x\) (ngày)
Thời gian thực tế: \(T_{thực tế}\) (ngày)

Theo đề bài:
\(T_{thực tế} = T_{dự định} – 4 = x – 4\) (ngày). Đây là thời gian để hoàn thành đúng số sản phẩm dự định.

Nhưng tổ đã làm xong trước 4 ngày VÀ còn làm thêm 10 sản phẩm.
Điều này có nghĩa là:
Số sản phẩm thực tế làm = Số sản phẩm dự định làm + 10 sản phẩm.
\(S_{thực tế} = S_{dự định} + 10 = 120x + 10\) (sản phẩm).

Bây giờ, chúng ta có mối liên hệ giữa năng suất thực tế, thời gian thực tế và tổng số sản phẩm thực tế làm.
Số sản phẩm thực tế làm = Năng suất thực tế * Thời gian thực tế.
Nhưng thời gian thực tế ở đây là bao lâu?
Đây là điểm mấu chốt. Tổ làm xong trước thời gian dự định 4 ngày VÀ còn làm thêm 10 sản phẩm.
Điều này có thể hiểu là:
Tổ làm trong một khoảng thời gian là \(T_{thực tế}\) ngày.
Trong \(T_{thực tế}\) ngày đó, với năng suất 150 sản phẩm/ngày, tổ đã làm được \(150 \times T_{thực tế}\) sản phẩm.
Và số sản phẩm này bằng \(120x + 10\).
Vậy: \(150 \times T_{thực tế} = 120x + 10\).

Mà \(T_{thực tế}\) lại liên quan đến \(x\). Tổ đã hoàn thành công việc trước thời gian dự định là 4 ngày.
Câu này có thể hiểu là: Tổ hoàn thành số sản phẩm dự định (120x) trong \(x-4\) ngày.
Tuy nhiên, tổ lại làm được nhiều hơn thế.

Chúng ta cần phân tích rõ ràng ý “tổ đã làm xong trước thời gian dự định là 4 ngày và còn làm thêm được 10 sản phẩm nữa”.
Điều này có nghĩa là, tổ đã hoàn thành một số lượng sản phẩm nhất định trong một thời gian ngắn hơn thời gian dự định.

Hãy thử đặt ẩn khác.
Gọi \(y\) (sản phẩm) là số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.
Điều kiện: \(y > 0\).

Thời gian dự định làm xong \(y\) sản phẩm là: \(T_{dự định} = \frac{y}{120}\) (ngày).

Thực tế, tổ đã làm được \(y + 10\) sản phẩm.
Thời gian thực tế để làm \(y + 10\) sản phẩm là: \(T_{thực tế} = \frac{y + 10}{150}\) (ngày).

Đề bài cho biết: “Vì vậy tổ đã làm xong trước thời gian dự định là 4 ngày”.
Điều này có nghĩa là, thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 4 ngày.
\(T_{thực tế} = T_{dự định} – 4\)

Thế các biểu thức vào phương trình:
\(\frac{y + 10}{150} = \frac{y}{120} – 4\)

Đây là một phương trình theo ẩn \(y\). Chúng ta sẽ giải phương trình này.

Bước 3: Lập phương trình.

Ta có phương trình:
\(\frac{y + 10}{150} = \frac{y}{120} – 4\)

Bước 4: Giải phương trình.

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số hoặc nhân cả hai vế với mẫu số chung.
Mẫu số chung của 150 và 120 là 600. (Vì 150 = 3 50, 120 = 2 60 = 2 6 10 = 12 10 = 2^3 3 5, 150 = 2 3 5^2. Mẫu số chung nhỏ nhất là 2^3 3 5^2 = 8 3 25 = 24 25 = 600)

Nhân cả hai vế của phương trình với 600:
\(600 \times \frac{y + 10}{150} = 600 \times (\frac{y}{120} – 4)\)
\((600 : 150) \times (y + 10) = 600 \times \frac{y}{120} – 600 \times 4\)
\(4 \times (y + 10) = 5 \times y – 2400\)

Phân phối:
\(4y + 40 = 5y – 2400\)

Chuyển các hạng tử chứa \(y\) về một vế và các hạng tử không chứa \(y\) về vế còn lại:
\(40 + 2400 = 5y – 4y\)
\(2440 = y\)

Vậy, \(y = 2440\).

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của ẩn và trả lời bài toán.

Chúng ta đã đặt ẩn \(y\) là số sản phẩm mà tổ đã dự định làm, với điều kiện \(y > 0\).
Kết quả \(y = 2440\) thỏa mãn điều kiện này.

Bây giờ, chúng ta kiểm tra lại với kết quả này xem có khớp với đề bài không.
Số sản phẩm dự định làm: \(y = 2440\) sản phẩm.
Thời gian dự định làm: \(T_{dự định} = \frac{2440}{120} = \frac{244}{12} = \frac{61}{3}\) ngày.

Thực tế, tổ làm được: \(y + 10 = 2440 + 10 = 2450\) sản phẩm.
Thời gian thực tế làm: \(T_{thực tế} = \frac{2450}{150} = \frac{245}{15} = \frac{49}{3}\) ngày.

Kiểm tra xem thời gian thực tế có ít hơn thời gian dự định là 4 ngày không:
\(T_{dự định} – T_{thực tế} = \frac{61}{3} – \frac{49}{3} = \frac{61 – 49}{3} = \frac{12}{3} = 4\) ngày.

Kết quả khớp với đề bài.

Vậy, số sản phẩm mà tổ đã dự định làm là 2440 sản phẩm.

Đáp số: 2440 sản phẩm.

Các em thấy đó, bài toán này tuy có vẻ hơi phức tạp ở khâu diễn đạt, nhưng khi chúng ta biết cách chọn ẩn và thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng, việc giải quyết bài toán sẽ trở nên rất nhẹ nhàng. Các em hãy nhớ cách phân tích đề bài, xác định ẩn và lập phương trình nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé. Hẹn gặp lại các em trong những bài học tiếp theo!