Chào các con học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về phép nhân các phân số, một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta nhé.

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức sau:

N=(1/2-1)(1/3-1)….(1/2021-1)(1/2022-1)

Đây là một tích của rất nhiều thừa số. Để giải quyết bài toán này một cách gọn gàng, chúng ta hãy cùng nhau phân tích từng bước một nhé!

Bước 1: Rút gọn từng số hạng trong tích.

Các con hãy quan sát cấu trúc của mỗi số hạng trong biểu thức N. Chúng đều có dạng chung là \( \left(\frac{1}{n} – 1\right) \), với n là một số tự nhiên.

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Chúng ta biết rằng số 1 có thể viết thành \( \frac{n}{n} \).

Vậy, ta có:

\[ \frac{1}{n} – 1 = \frac{1}{n} – \frac{n}{n} = \frac{1-n}{n} \]

Đây là công thức chung cho mỗi số hạng. Bây giờ chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho các số hạng cụ thể trong biểu thức N.

Bước 2: Viết lại các số hạng cụ thể trong biểu thức N.

Áp dụng công thức vừa tìm được:

Số hạng thứ nhất: \( \left(\frac{1}{2}-1\right) = \frac{1-2}{2} = \frac{-1}{2} \)

Số hạng thứ hai: \( \left(\frac{1}{3}-1\right) = \frac{1-3}{3} = \frac{-2}{3} \)

Số hạng thứ ba: \( \left(\frac{1}{4}-1\right) = \frac{1-4}{4} = \frac{-3}{4} \)

…

Số hạng cuối cùng: \( \left(\frac{1}{2022}-1\right) = \frac{1-2022}{2022} = \frac{-2021}{2022} \)

Bước 3: Viết lại biểu thức N dưới dạng tích các phân số đã rút gọn.

Sau khi rút gọn từng số hạng, biểu thức N sẽ trở thành:

\[ N = \left(\frac{-1}{2}\right) \cdot \left(\frac{-2}{3}\right) \cdot \left(\frac{-3}{4}\right) \cdot \dots \cdot \left(\frac{-2021}{2022}\right) \]

Bây giờ, chúng ta cần xác định dấu của biểu thức N. Các con hãy đếm xem có bao nhiêu số hạng trong tích này nhé.

Các số hạng có mẫu số lần lượt là 2, 3, 4, …, 2022. Vậy số lượng số hạng là \( 2022 – 2 + 1 = 2021 \) số hạng.

Vì có 2021 số hạng, mà 2021 là một số lẻ, và mỗi số hạng đều mang dấu âm, nên tích của tất cả các số hạng này sẽ mang dấu âm.

Do đó, chúng ta có thể viết lại N như sau:

\[ N = – \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{2021}{2022} \right) \]

Bước 4: Thực hiện phép nhân và rút gọn.

Đây là bước quan trọng nhất để tìm ra kết quả cuối cùng. Các con hãy quan sát kỹ tích các phân số:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{2021}{2022} \]

Chúng ta thấy rằng tử số của phân số sau có thể rút gọn với mẫu số của phân số liền trước nó.

Ví dụ:

\( \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \dots \)

Khi thực hiện phép nhân và rút gọn như vậy, tất cả các tử số và mẫu số ở giữa sẽ được triệt tiêu lẫn nhau.

Cụ thể, số 2 ở mẫu số của phân số thứ nhất sẽ rút gọn với số 2 ở tử số của phân số thứ hai. Số 3 ở mẫu số của phân số thứ hai sẽ rút gọn với số 3 ở tử số của phân số thứ ba, và cứ thế tiếp diễn cho đến cuối cùng.

Chúng ta sẽ còn lại tử số của phân số đầu tiên và mẫu số của phân số cuối cùng.

Trong trường hợp này, tử số còn lại là 1 (của phân số \( \frac{1}{2} \)) và mẫu số còn lại là 2022 (của phân số \( \frac{2021}{2022} \)).

Vậy, tích này sẽ bằng:

\[ \frac{1}{2022} \]

Bước 5: Kết luận giá trị của N.

Kết hợp kết quả rút gọn với dấu đã xác định ở Bước 3, ta có:

\[ N = – \left( \frac{1}{2022} \right) \]

Vậy, giá trị của biểu thức N là:

\[ N = \frac{-1}{2022} \]

Tổng kết:

Qua bài tập này, các con đã được ôn lại cách quy đồng mẫu số để trừ các phân số, cách nhân nhiều phân số và đặc biệt là kỹ thuật rút gọn liên tiếp (hay còn gọi là “tích phân số rút gọn theo kiểu nối tiếp” hoặc “telescoping product”).

Chìa khóa để giải quyết bài toán này là:

1. Rút gọn từng số hạng chung.
2. Xác định dấu của toàn bộ tích.
3. Quan sát kỹ quy luật rút gọn các phân số.

Chúc các con luôn giữ vững niềm yêu thích với môn Toán và áp dụng tốt các kiến thức đã học vào những bài tập tương tự nhé!