Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất quen thuộc trong chương trình Toán 11. Đây là dạng phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước để nắm vững phương pháp nhé.

Phân tích bài toán:

Phương trình của chúng ta có dạng \(a\sin x + b\cos x = c\). Cụ thể ở đây là \(\sqrt{3}\sin x – 1\cos x = 0\).

Phương pháp giải chung cho dạng này là chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\) để đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Bắt đầu giải:

Bước 1: Xác định các hệ số và tính \(\sqrt{a^2+b^2}\)

Phương trình đã cho là \(\sqrt{3}\sin x – \cos x = 0\).

Ta có các hệ số \(a = \sqrt{3}\) và \(b = -1\).

Ta tính: \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\).

Bước 2: Biến đổi phương trình

Ta chia cả hai vế của phương trình cho 2:
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x – \frac{1}{2}\cos x = 0\]
Đến đây, các em cần nhớ lại các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. Ta nhận thấy:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \quad \text{và} \quad \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\]
Thay các giá trị này vào phương trình, ta được:
\[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x – \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos x = 0\]

Bước 3: Áp dụng công thức cộng

Vế trái của phương trình có dạng \(\sin A \cos B – \cos A \sin B\), đây chính là công thức của sin một hiệu: \(\sin(A – B)\).

Áp dụng công thức này với \(A = x\) và \(B = \frac{\pi}{6}\), phương trình trở thành:
\[\sin\left(x – \frac{\pi}{6}\right) = 0\]

Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản và tìm họ nghiệm

Đây là phương trình lượng giác cơ bản. Ta có công thức nghiệm: \(\sin u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi\) (với \(k\) là số nguyên, kí hiệu \(k \in \mathbb{Z}\)).

Áp dụng vào bài toán:
\[x – \frac{\pi}{6} = k\pi\]
Chuyển vế, ta tìm được họ nghiệm của phương trình:
\[x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Bước 5: Tìm nghiệm âm lớn nhất

Yêu cầu của bài toán là tìm nghiệm âm lớn nhất. Nghĩa là ta cần tìm \(x < 0\) và giá trị đó gần 0 nhất.
Từ họ nghiệm, ta có bất phương trình:
\[\frac{\pi}{6} + k\pi < 0\] Ta giải bất phương trình này để tìm \(k\): \[k\pi < -\frac{\pi}{6}\] \[k < -\frac{1}{6}\] Vì \(k\) là một số nguyên, nên giá trị nguyên lớn nhất của \(k\) mà nhỏ hơn \(-\frac{1}{6}\) (xấp xỉ -0.167) chính là \(k = -1\). Với \(k = -1\), ta thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm âm lớn nhất: \[x = \frac{\pi}{6} + (-1)\pi = \frac{\pi}{6} – \pi = \frac{\pi – 6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}\] Kết luận:

Vậy, nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \(-\frac{5\pi}{6}\).

Các em hãy xem lại từng bước giải, nếu có thắc mắc gì hãy hỏi ngay nhé. Chúc các em học tốt