Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về nguyên hàm, đó là tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \tan^3 x \). Đây là một dạng bài khá phổ biến và thú vị trong chương trình Toán 12 của chúng ta, đòi hỏi chúng ta vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác và phương pháp đổi biến số. Nào, chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Bài toán: Tìm nguyên hàm của \( \tan^3 x \, dx \).

Lời giải chi tiết:

Để tìm nguyên hàm của \( \tan^3 x \), chúng ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản và phương pháp đổi biến số để đưa về các nguyên hàm cơ bản đã biết.

Bước 1: Biến đổi biểu thức \( \tan^3 x \) bằng công thức lượng giác.
Chúng ta biết rằng có một mối liên hệ chặt chẽ giữa \( \tan x \) và \( \sec x \) (hay \( \frac{1}{\cos x} \)). Cụ thể, ta có công thức lượng giác cơ bản sau:
\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \]
Từ đó, ta suy ra:
\[ \tan^2 x = \sec^2 x – 1 \]
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này để biến đổi \( \tan^3 x \):
\[ \tan^3 x = \tan x \cdot \tan^2 x \]
Thay \( \tan^2 x \) bằng \( \sec^2 x – 1 \), ta được:
\[ \tan^3 x = \tan x (\sec^2 x – 1) \]
Tiếp tục nhân phân phối, ta có:
\[ \tan^3 x = \tan x \sec^2 x – \tan x \]

Bước 2: Phân tích nguyên hàm thành tổng (hiệu) các nguyên hàm đơn giản hơn.
Với biểu thức đã biến đổi ở Bước 1, nguyên hàm ban đầu có thể được viết lại như sau:
\[ \int \tan^3 x \, dx = \int (\tan x \sec^2 x – \tan x) \, dx \]
Sử dụng tính chất của nguyên hàm (nguyên hàm của một hiệu bằng hiệu các nguyên hàm), ta có thể tách thành hai nguyên hàm:
\[ \int \tan^3 x \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx – \int \tan x \, dx \]
Bây giờ, nhiệm vụ của chúng ta là lần lượt tính từng nguyên hàm một.

Bước 3: Tính nguyên hàm thứ nhất: \( \int \tan x \sec^2 x \, dx \).
Đối với nguyên hàm này, chúng ta nhận thấy có sự xuất hiện của \( \tan x \) và đạo hàm của nó, \( \sec^2 x \). Do đó, đây là một dạng bài lý tưởng để sử dụng phương pháp đổi biến số.
Đặt \( u = \tan x \).
Khi đó, ta cần tìm vi phân của \( u \), tức là \( du \). Ta lấy đạo hàm của \( u \) theo \( x \):
\[ du = (\tan x)’ \, dx \]
Mà chúng ta biết rằng đạo hàm của \( \tan x \) là \( \sec^2 x \) (hoặc \( \frac{1}{\cos^2 x} \)).
Vậy \( du = \sec^2 x \, dx \).
Thay \( u = \tan x \) và \( du = \sec^2 x \, dx \) vào nguyên hàm, ta được:
\[ \int \tan x \sec^2 x \, dx = \int u \, du \]
Đây là một nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm của \( u \) theo \( du \) là \( \frac{u^{1+1}}{1+1} + C_1 \), tức là \( \frac{u^2}{2} + C_1 \).
Thay \( u = \tan x \) trở lại biểu thức theo \( x \), ta được:
\[ \int \tan x \sec^2 x \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} + C_1 \]
(Với \( C_1 \) là hằng số tích phân đầu tiên).

Bước 4: Tính nguyên hàm thứ hai: \( \int \tan x \, dx \).
Nguyên hàm này cũng có thể tính bằng phương pháp đổi biến số, hoặc ta có thể nhớ đây là một trong các nguyên hàm cơ bản thường gặp.
Ta có \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).
Vậy, nguyên hàm trở thành:
\[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \]
Để giải nguyên hàm này, chúng ta sẽ đặt biến số \( v \). Ta thấy đạo hàm của \( \cos x \) có liên quan đến \( \sin x \).
Đặt \( v = \cos x \).
Khi đó, ta tìm vi phân của \( v \):
\[ dv = (\cos x)’ \, dx \]
Mà đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \).
Vậy \( dv = -\sin x \, dx \), hay \( \sin x \, dx = -dv \).
Thay \( v = \cos x \) và \( \sin x \, dx = -dv \) vào nguyên hàm, ta được:
\[ \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-dv}{v} = – \int \frac{1}{v} \, dv \]
Nguyên hàm của \( \frac{1}{v} \) theo \( dv \) là \( \ln|v| \). (Chúng ta cần nhớ điều kiện \( v \neq 0 \), tức là \( \cos x \neq 0 \)).
Vậy \( – \int \frac{1}{v} \, dv = -\ln|v| + C_2 \).
Thay \( v = \cos x \) trở lại biểu thức theo \( x \), ta được:
\[ \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C_2 \]
(Với \( C_2 \) là hằng số tích phân thứ hai).
Lưu ý: Một số em có thể nhớ luôn công thức \( \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C \). Điều này cũng hoàn toàn đúng vì \( \ln|\sec x| = \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right| = \ln|1| – \ln|\cos x| = 0 – \ln|\cos x| = -\ln|\cos x| \).

Bước 5: Tổng hợp các kết quả để có nguyên hàm cuối cùng.
Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các kết quả đã tính được từ Bước 3 và Bước 4:
\[ \int \tan^3 x \, dx = \left( \frac{\tan^2 x}{2} + C_1 \right) – \left( -\ln|\cos x| + C_2 \right) \]
Thực hiện phép trừ:
\[ \int \tan^3 x \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} + C_1 + \ln|\cos x| – C_2 \]
Chúng ta có thể gộp hai hằng số \( C_1 \) và \( -C_2 \) lại thành một hằng số tích phân tổng quát \( C \), với \( C = C_1 – C_2 \).
Vậy, nguyên hàm cuối cùng là:
\[ \int \tan^3 x \, dx = \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + C \]

Kết luận:
Nguyên hàm của \( \tan^3 x \, dx \) là \( \frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + C \), với \( C \) là hằng số tích phân.

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ từng bước cách tìm nguyên hàm của \( \tan^3 x \). Đây là một kỹ thuật quan trọng trong việc giải các bài toán nguyên hàm lượng giác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé! Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!