Chào các em,

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị. Dạng toán này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp đã học.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích đa thức: \(P(x) = 2x^4 – 5x^3 – 5x^2 + 5x + 3\).

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức (Phương pháp nhẩm nghiệm)

Với các đa thức bậc cao (bậc 3, 4 trở lên), một phương pháp rất hiệu quả là chúng ta thử nhẩm xem đa thức có nghiệm nguyên đơn giản nào không, ví dụ như \(x = 1; -1; 2; -2; …\).

Nhận xét 1: Ta tính tổng các hệ số của đa thức:
\[2 + (-5) + (-5) + 5 + 3 = 0\]
Theo một tính chất đã học, nếu một đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm là \(x=1\). Do đó, đa thức \(P(x)\) chắc chắn chia hết cho nhân tử \((x-1)\).

Nhận xét 2: Ta thử tiếp với \(x = -1\):
\[P(-1) = 2(-1)^4 – 5(-1)^3 – 5(-1)^2 + 5(-1) + 3\]
\[P(-1) = 2(1) – 5(-1) – 5(1) – 5 + 3\]
\[P(-1) = 2 + 5 – 5 – 5 + 3 = 0\]
À, như vậy đa thức cũng có một nghiệm là \(x=-1\). Do đó, đa thức \(P(x)\) cũng chia hết cho nhân tử \((x+1)\).

Vì \(P(x)\) chia hết cho cả \((x-1)\) và \((x+1)\), nên nó sẽ chia hết cho tích của chúng, tức là \((x-1)(x+1) = x^2 – 1\).

Bước 2: Phân tích đa thức bằng phương pháp nhóm hạng tử

Khi đã biết đa thức chứa nhân tử \((x^2 – 1)\), ta sẽ tìm cách biến đổi, tách các hạng tử của đa thức ban đầu để làm xuất hiện nhân tử chung này.

Ta có:
\[2x^4 – 5x^3 – 5x^2 + 5x + 3\]
Để tạo ra \(x^2-1\), ta sẽ khéo léo thêm bớt và tách các hạng tử như sau:
\[= (2x^4 – 2x^2) – 5x^3 + 5x – 3x^2 + 3\]
Ta nhóm các hạng tử vừa tách:
\[= (2x^4 – 2x^2) – (5x^3 – 5x) – (3x^2 – 3)\]
Bây giờ, ta đặt nhân tử chung cho từng nhóm:
\[= 2x^2(x^2 – 1) – 5x(x^2 – 1) – 3(x^2 – 1)\]
Các em thấy không? Nhân tử chung \((x^2-1)\) đã xuất hiện ở tất cả các nhóm. Ta đặt nó ra ngoài:
\[= (x^2 – 1)(2x^2 – 5x – 3)\]

Bước 3: Tiếp tục phân tích các nhân tử còn lại

Bài toán chưa dừng lại ở đây. Ta thấy các nhân tử vừa tìm được vẫn có thể phân tích tiếp.

* Với nhân tử \((x^2 – 1)\), ta dễ dàng nhận ra đây là hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương” \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).
\[x^2 – 1 = x^2 – 1^2 = (x – 1)(x + 1)\]

* Với nhân tử \((2x^2 – 5x – 3)\), đây là một tam thức bậc hai. Ta sẽ dùng phương pháp tách hạng tử ở giữa (hạng tử \(-5x\)).

Ta cần tách \(-5x\) thành hai số hạng sao cho tích của hai hệ số mới bằng tích của hệ số đầu và cuối (\(2 \times (-3) = -6\)). Dễ thấy ta có thể tách thành \(-6x\) và \(+x\).

\[2x^2 – 5x – 3 = 2x^2 – 6x + x – 3\]
Nhóm các hạng tử lại:
\[= (2x^2 – 6x) + (x – 3)\]
Đặt nhân tử chung:
\[= 2x(x – 3) + 1(x – 3)\]
\[= (x – 3)(2x + 1)\]

Bước 4: Kết luận

Bây giờ, chúng ta ráp tất cả các kết quả lại để có được đáp án cuối cùng.
\[2x^4 – 5x^3 – 5x^2 + 5x + 3 = (x^2 – 1)(2x^2 – 5x – 3)\]
\[= (x – 1)(x + 1)(x – 3)(2x + 1)\]

Vậy, kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là: (x – 1)(x + 1)(x – 3)(2x + 1).

Qua bài tập này, các em cần ghi nhớ phương pháp nhẩm nghiệm để tìm ra nhân tử ban đầu, sau đó kết hợp với các phương pháp nhóm hạng tử, tách hạng tử và dùng hằng đẳng thức để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.

Chúc các em học tốt