Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!
Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là một dạng toán rất quan trọng trong chương trình lớp 8. Để giải được các bài tập này, các em cần nắm vững các phương pháp đã học, đặc biệt là phương pháp nhóm hạng tử và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Câu a)

Phân tích:

Nhìn vào đa thức, chúng ta thấy có 6 hạng tử. Ta hãy thử nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức quen thuộc.

– Các hạng tử \(9x^2-6xy+y^2\) có dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.

– Các hạng tử \(-a^2+4ab-4b^2\) cũng có vẻ liên quan đến bình phương của một hiệu. Ta có thể đặt dấu trừ ra ngoài để các hạng tử bên trong có dạng chuẩn hơn: \( -(a^2-4ab+4b^2) \).

Sau khi nhóm, chúng ta sẽ có dạng hiệu của hai bình phương \(A^2 – B^2\).

Lời giải chi tiết:

\(9x^2-6xy+y^2-a^2+4ab-4b^2\)

= \((9x^2-6xy+y^2) – (a^2-4ab+4b^2)\) (Nhóm các hạng tử và đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai)

= \([(3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot y + y^2] – [a^2 – 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2]\) (Viết các hạng tử dưới dạng bình phương để áp dụng hằng đẳng thức)

= \((3x-y)^2 – (a-2b)^2\) (Áp dụng hằng đẳng thức số 2: \( (A-B)^2 = A^2-2AB+B^2 \))

= \([(3x-y) – (a-2b)][(3x-y) + (a-2b)]\) (Áp dụng hằng đẳng thức số 3: \( A^2-B^2 = (A-B)(A+B) \))

= \((3x-y-a+2b)(3x-y+a-2b)\) (Bỏ dấu ngoặc bên trong)

Kết luận: Vậy đa thức đã được phân tích thành nhân tử là \((3x-y-a+2b)(3x-y+a-2b)\).

Câu b)

Phân tích:

Tương tự câu a, đa thức này có 6 hạng tử. Chúng ta sẽ tìm cách nhóm các hạng tử để tạo ra hằng đẳng thức.

– Các hạng tử \(a^2, b^2, -2ab\) có thể nhóm lại thành \((a^2-2ab+b^2)\).

– Các hạng tử còn lại là \(-4x^2, -y^2, +4xy\). Ta có thể đặt dấu trừ ra ngoài: \( -(4x^2-4xy+y^2) \).

Khi đó, ta lại có dạng hiệu của hai bình phương.

Lời giải chi tiết:

\(a^2+b^2-4x^2-y^2-2ab+4xy\)

= \((a^2-2ab+b^2) + (-4x^2+4xy-y^2)\) (Giao hoán và nhóm các hạng tử)

= \((a^2-2ab+b^2) – (4x^2-4xy+y^2)\) (Đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc thứ hai và đổi dấu)

= \((a-b)^2 – (2x-y)^2\) (Áp dụng hằng đẳng thức số 2: \( (A-B)^2 = A^2-2AB+B^2 \))

= \([(a-b)-(2x-y)][(a-b)+(2x-y)]\) (Áp dụng hằng đẳng thức số 3: \( A^2-B^2 = (A-B)(A+B) \))

= \((a-b-2x+y)(a-b+2x-y)\) (Bỏ dấu ngoặc bên trong)

Kết luận: Vậy đa thức đã được phân tích thành nhân tử là \((a-b-2x+y)(a-b+2x-y)\).

Câu c)

Phân tích:

Trong đa thức này, thầy nhận thấy có một lỗi nhỏ trong đề bài gốc, hạng tử \(-3x^y\) có lẽ phải là \(-3x^2y\) để phù hợp với chương trình lớp 8. Thầy sẽ giải theo đề bài đã được chỉnh sửa cho hợp lý nhé.

Đa thức: \(x^3-3x^2y+x+3xy^2-y-y^3\)

Chúng ta thấy các hạng tử bậc 3 là \(x^3, -3x^2y, 3xy^2, -y^3\). Các hạng tử này gợi cho ta đến hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

Các hạng tử còn lại là \(x\) và \(-y\). Ta sẽ nhóm chúng lại.

Lời giải chi tiết:

\(x^3-3x^2y+x+3xy^2-y-y^3\)

= \((x^3-3x^2y+3xy^2-y^3) + (x-y)\) (Giao hoán và nhóm các hạng tử)

= \((x-y)^3 + (x-y)\) (Áp dụng hằng đẳng thức số 5: \( (A-B)^3 = A^3-3A^2B+3AB^2-B^3 \))

Lúc này, ta thấy xuất hiện nhân tử chung là \((x-y)\). Ta sẽ dùng phương pháp đặt nhân tử chung.

= \((x-y) \cdot [(x-y)^2 + 1]\)

= \((x-y)(x^2-2xy+y^2+1)\) (Khai triển hằng đẳng thức trong ngoặc vuông)

Kết luận: Vậy đa thức đã được phân tích thành nhân tử là \((x-y)(x^2-2xy+y^2+1)\).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành cả 3 câu. Các em hãy nhớ rằng, chìa khóa để giải dạng bài này là nhận biết nhanh các hằng đẳng thức và nhóm các hạng tử một cách hợp lý. Chúc các em học tốt