Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị, nằm trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 8 của chúng ta.

Bài toán hôm nay của chúng ta là: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

Các em thấy đó, đa thức này có vẻ hơi cồng kềnh một chút với bốn nhân tử là các biểu thức bậc nhất nhân với nhau, cộng thêm một hằng số. Để phân tích nó thành nhân tử, chúng ta cần khéo léo áp dụng các phương pháp đã học, đặc biệt là phương pháp nhóm hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau đi từng bước một nhé!

Bước 1: Nhóm các nhân tử một cách hợp lý

Nhìn vào các số hạng trong ngoặc: -1, +2, -3, +4. Chúng ta thử tìm cách nhóm sao cho tổng các số hạng này bằng nhau.
Quan sát ta thấy:
(-1) + (+4) = 3
(+2) + (-3) = -1
Điều này chưa bằng nhau.

Bây giờ, ta thử nhóm theo cách khác:
(-1) + (-3) = -4
(+2) + (+4) = 6
Cũng chưa bằng nhau.

Hãy thử lại:
(-1) + (+2) = 1
(-3) + (+4) = 1
À! Chúng ta đã tìm ra cách nhóm rồi! Chúng ta sẽ nhóm nhân tử thứ nhất với nhân tử thứ hai, và nhân tử thứ ba với nhân tử thứ tư.

Ta viết lại đa thức như sau:
[(x-1)(x+2)] [(x-3)(x+4)] + 24

Bước 2: Nhân các nhóm nhân tử đã chọn

Bây giờ, ta sẽ thực hiện phép nhân trong từng cặp ngoặc vuông:
Nhân (x-1) với (x+2):
(x-1)(x+2) = x*x + x*2 – 1*x – 1*2 = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2

Nhân (x-3) với (x+4):
(x-3)(x+4) = x*x + x*4 – 3*x – 3*4 = x^2 + 4x – 3x – 12 = x^2 + x – 12

Sau khi nhân, đa thức của chúng ta trở thành:
(x^2 + x – 2)(x^2 + x – 12) + 24

Bước 3: Đặt biến phụ để đưa về dạng đơn giản hơn

Các em thấy không, trong hai biểu thức (x^2 + x – 2) và (x^2 + x – 12), chúng có một phần chung là (x^2 + x). Đây là dấu hiệu để chúng ta đặt biến phụ.

Đặt \( y = x^2 + x \)

Khi đó, đa thức của chúng ta sẽ trở thành:
(y – 2)(y – 12) + 24

Bước 4: Rút gọn đa thức với biến phụ

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân hai biểu thức theo biến y:
(y – 2)(y – 12) = y*y – y*12 – 2*y + (-2)*(-12)
= y^2 – 12y – 2y + 24
= y^2 – 14y + 24

Thay vào đa thức ban đầu với biến phụ:
(y^2 – 14y + 24) + 24
= y^2 – 14y + 24 + 24
= y^2 – 14y + 48

Bước 5: Phân tích đa thức với biến phụ thành nhân tử

Chúng ta cần phân tích đa thức \( y^2 – 14y + 48 \) thành nhân tử. Đây là một tam thức bậc hai. Chúng ta sẽ tìm hai số có tích bằng 48 và tổng bằng -14.

Hai số đó là -6 và -8, vì:
(-6) * (-8) = 48
(-6) + (-8) = -14

Vậy, ta có thể viết lại đa thức theo biến y như sau:
y^2 – 6y – 8y + 48

Bây giờ, ta nhóm hạng tử:
(y^2 – 6y) – (8y – 48)
= y(y – 6) – 8(y – 6)

Xuất hiện nhân tử chung là (y – 6). Ta đặt nhân tử chung ra ngoài:
(y – 6)(y – 8)

Bước 6: Thay biến phụ trở lại

Chúng ta đã phân tích xong đa thức theo biến y. Bây giờ, ta cần thay \( y = x^2 + x \) trở lại vào biểu thức vừa tìm được.

Thay y = x^2 + x vào (y – 6)(y – 8):
Nhân tử thứ nhất: y – 6 = (x^2 + x) – 6 = x^2 + x – 6
Nhân tử thứ hai: y – 8 = (x^2 + x) – 8 = x^2 + x – 8

Vậy, đa thức ban đầu được phân tích thành:
(x^2 + x – 6)(x^2 + x – 8)

Bước 7: Kiểm tra khả năng phân tích tiếp

Bây giờ, chúng ta cần xem liệu các nhân tử \( x^2 + x – 6 \) và \( x^2 + x – 8 \) có thể phân tích tiếp thành nhân tử bậc nhất hay không.

Xét nhân tử thứ nhất: \( x^2 + x – 6 \)
Chúng ta tìm hai số có tích bằng -6 và tổng bằng 1. Hai số đó là 3 và -2.
Vậy, \( x^2 + x – 6 = x^2 + 3x – 2x – 6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) \)

Xét nhân tử thứ hai: \( x^2 + x – 8 \)
Chúng ta tìm hai số có tích bằng -8 và tổng bằng 1.
Ta có các cặp số nguyên có tích bằng -8 là: (1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4).
Tổng của các cặp này lần lượt là: -7, 7, -2, 2.
Không có cặp nào có tổng bằng 1. Do đó, tam thức \( x^2 + x – 8 \) không thể phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên. (Nếu muốn phân tích bằng công thức nghiệm, ta sẽ ra nghiệm vô tỉ, không thuộc phạm vi của việc phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên như thường thấy ở lớp 8).

Kết luận

Vậy, sau khi phân tích, ta được kết quả cuối cùng là:
(x+3)(x-2)(x^2 + x – 8)

Các em thấy đó, bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận trong từng bước tính toán và khả năng nhận ra điểm chung để đặt biến phụ.

Hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là khi gặp những đa thức phức tạp.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi cô nhé!

Chúc các em học tốt!