Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau phân tích một đa thức thành nhân tử. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số.

Chúng ta có đa thức cần phân tích là: \( 2x^2 - 2y^2 - 6x - 6y \)

Để phân tích đa thức này thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây một cách cẩn thận nhé!

Bước 1: Tìm nhân tử chung cho toàn bộ đa thức (nếu có).

Chúng ta hãy quan sát tất cả các hạng tử trong đa thức: \( 2x^2, -2y^2, -6x, -6y \).

Nhận thấy rằng tất cả các hệ số (2, -2, -6, -6) đều chia hết cho 2.

Vậy, ta có thể đặt 2 làm nhân tử chung cho toàn bộ đa thức.

Ta được:
\[ 2x^2 – 2y^2 – 6x – 6y = 2(x^2 – y^2 – 3x – 3y) \]

Sau bước này, bài toán của chúng ta trở thành việc phân tích đa thức trong ngoặc: \( x^2 - y^2 - 3x - 3y \).

Bước 2: Phân tích đa thức trong ngoặc bằng cách nhóm các hạng tử thích hợp.

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào biểu thức \( x^2 - y^2 - 3x - 3y \).

Hãy tìm cách nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

Chúng ta thấy có:

• Hạng tử \( x^2 - y^2 \): Đây là dạng của hằng đẳng thức “hiệu hai bình phương”.
• Hạng tử \( -3x - 3y \): Hai hạng tử này có nhân tử chung là -3.

Vì vậy, chúng ta sẽ nhóm chúng lại như sau:
\[ x^2 – y^2 – 3x – 3y = (x^2 – y^2) + (-3x – 3y) \]

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung cho từng nhóm.

• Đối với nhóm thứ nhất \( (x^2 - y^2) \):
  
  Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), ta có:
  
  \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)
• Đối với nhóm thứ hai \( (-3x - 3y) \):
  
  Ta đặt -3 làm nhân tử chung:
  
  \( -3x - 3y = -3(x+y) \)

Thay các kết quả này trở lại biểu thức đã nhóm ở Bước 2:
\[ (x^2 – y^2) + (-3x – 3y) = (x-y)(x+y) – 3(x+y) \]

Bước 4: Tiếp tục đặt nhân tử chung cho biểu thức mới.

Quan sát biểu thức \( (x-y)(x+y) - 3(x+y) \).

Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng \( (x+y) \) là nhân tử chung của cả hai số hạng \( (x-y)(x+y) \) và \( -3(x+y) \).

Đặt \( (x+y) \) ra ngoài, ta được:
\[ (x-y)(x+y) – 3(x+y) = (x+y) \left[ (x-y) – 3 \right] \]
Rút gọn phần trong ngoặc vuông:
\[ (x+y) \left[ x-y-3 \right] = (x+y)(x-y-3) \]

Bước 5: Kết hợp các kết quả để đưa ra đáp án cuối cùng.

Nhớ lại ở Bước 1, chúng ta đã đặt nhân tử chung 2 ra ngoài.

Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp kết quả từ Bước 1 và Bước 4.

Vậy, phân tích đa thức \( 2x^2 - 2y^2 - 6x - 6y \) thành nhân tử ta được:
\[ 2x^2 – 2y^2 – 6x – 6y = 2(x+y)(x-y-3) \]

Đây chính là dạng phân tích nhân tử cuối cùng của đa thức đã cho. Thầy tin rằng với sự hướng dẫn chi tiết này, các em đã nắm vững cách làm rồi. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé! Chúc các em học tốt!