Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x⁸+x+1
b)x¹⁰+x⁵+1
a) x⁸+x+1
b)x¹⁰+x⁵+1
Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em ôn tập và chinh phục dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 8. Đặc biệt, chúng ta sẽ xử lý hai bài toán khá thú vị, đòi hỏi sự linh hoạt trong tư duy.
Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để tạo ra nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức quen thuộc, đặc biệt là hằng đẳng thức liên quan đến \(A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\) và \(A^2+AB+B^2\).
Chúng ta cùng bắt đầu nhé!
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^8+x+1\)
Lời giải chi tiết:
Để phân tích đa thức \(x^8+x+1\), chúng ta nhận thấy rằng đa thức này không có nhân tử chung trực tiếp hay theo dạng hằng đẳng thức cơ bản. Tuy nhiên, các đa thức dạng \(x^{3k}+x^{3j+1}+1\) hoặc \(x^{3k+2}+x^{3j+1}+1\) thường có nhân tử là \(x^2+x+1\). Ta sẽ tìm cách thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử này.
Bước 1: Thêm bớt hạng tử \(x^2\) vào đa thức.
Ta có: \[x^8+x+1 = x^8 – x^2 + x^2 + x + 1\]
Giải thích: Việc thêm bớt \(x^2\) giúp chúng ta nhóm được hạng tử \(x^2+x+1\) mà chúng ta dự đoán là một nhân tử. Đồng thời, phần còn lại \(x^8-x^2\) cũng sẽ được phân tích để tìm nhân tử chung.
Bước 2: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
\[ = (x^8 – x^2) + (x^2 + x + 1) \]
Trong nhóm đầu tiên, ta đặt nhân tử chung \(x^2\):
\[ = x^2(x^6 – 1) + (x^2 + x + 1) \]
Bước 3: Phân tích tiếp hạng tử \(x^6-1\) bằng các hằng đẳng thức.
Ta nhận thấy \(x^6-1\) có thể viết thành \((x^3)^2 – 1^2\). Đây là dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(A^2-B^2 = (A-B)(A+B)\).
\[x^6-1 = (x^3)^2 – 1^2 = (x^3-1)(x^3+1)\]
Tiếp tục, \(x^3-1\) là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương \(A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\):
\[x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\]
Vậy, ta có: \[x^6-1 = (x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)\]
Bước 4: Thay thế và đặt nhân tử chung \(x^2+x+1\).
Thay kết quả phân tích của \(x^6-1\) vào biểu thức ở Bước 2:
\[x^8+x+1 = x^2 \cdot (x-1)(x^2+x+1)(x^3+1) + (x^2+x+1)\]
Bây giờ, chúng ta thấy \(x^2+x+1\) là nhân tử chung của cả hai nhóm. Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài:
\[ = (x^2+x+1) [x^2(x-1)(x^3+1) + 1] \]
Bước 5: Khai triển và rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông.
\[ = (x^2+x+1) [ (x^2-x)(x^3+1) + 1 ] \]
\[ = (x^2+x+1) [ x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot 1 – x \cdot x^3 – x \cdot 1 + 1 ] \]
\[ = (x^2+x+1) [ x^5 + x^2 – x^4 – x + 1 ] \]
Sắp xếp lại các hạng tử trong ngoặc vuông theo thứ tự bậc giảm dần:
\[ = (x^2+x+1) [ x^5 – x^4 + x^2 – x + 1 ] \]
Vậy, kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là:
\(x^8+x+1 = (x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)\)
b) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^{10}+x^5+1\)
Lời giải chi tiết:
Đa thức \(x^{10}+x^5+1\) có dạng tổng quát \(A^2+A+1\) với \(A=x^5\). Tương tự như câu a), các đa thức dạng này thường có thể phân tích được bằng cách thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử \(x^2+x+1\). Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp này.
Bước 1: Thêm bớt các hạng tử \(x\) và \(x^2\) vào đa thức.
Ta thêm bớt các hạng tử sao cho có thể tạo ra các nhóm có nhân tử \(x^2+x+1\).
Cụ thể, ta nhận thấy rằng \(10 \div 3\) dư 1 và \(5 \div 3\) dư 2. Do đó, ta sẽ thêm bớt \(x\) và \(x^2\) như sau:
\[x^{10}+x^5+1 = x^{10} – x + x^5 – x^2 + x^2 + x + 1\]
Giải thích: Việc thêm bớt \(x\) và \(x^2\) giúp chúng ta tạo ra ba nhóm hạng tử. Cụ thể, các nhóm \(x^{10}-x\), \(x^5-x^2\), và \(x^2+x+1\) đều sẽ chứa nhân tử \(x^2+x+1\). Điều này dựa trên tính chất rằng \(x^k-1\) chia hết cho \(x^2+x+1\) nếu \(k\) là bội của 3.
Bước 2: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
\[ = (x^{10} – x) + (x^5 – x^2) + (x^2 + x + 1) \]
Đặt nhân tử chung cho từng nhóm:
\[ = x(x^9 – 1) + x^2(x^3 – 1) + (x^2 + x + 1) \]
Bước 3: Phân tích tiếp các hạng tử \(x^9-1\) và \(x^3-1\).
Chúng ta biết rằng \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\) (hằng đẳng thức hiệu hai lập phương).
Đối với \(x^9-1\), ta có thể viết là \((x^3)^3-1^3\). Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, ta được:
\[x^9-1 = (x^3-1)((x^3)^2 + x^3 \cdot 1 + 1^2) = (x^3-1)(x^6+x^3+1)\]
Thay \(x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)\) vào biểu thức của \(x^9-1\):
\[x^9-1 = (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)\]
Bước 4: Thay thế và đặt nhân tử chung \(x^2+x+1\).
Thay các kết quả phân tích trên vào biểu thức ở Bước 2:
\[x^{10}+x^5+1 = x \cdot (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1) + x^2 \cdot (x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1)\]
Bây giờ, chúng ta thấy \(x^2+x+1\) là nhân tử chung của cả ba nhóm. Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài:
\[ = (x^2+x+1) [x(x-1)(x^6+x^3+1) + x^2(x-1) + 1] \]
Bước 5: Khai triển và rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông.
\[ = (x^2+x+1) [ (x^2-x)(x^6+x^3+1) + (x^3-x^2) + 1 ] \]
Khai triển tích \((x^2-x)(x^6+x^3+1)\):
\[ = (x^2+x+1) [ x^2 \cdot x^6 + x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot 1 – x \cdot x^6 – x \cdot x^3 – x \cdot 1 + x^3 – x^2 + 1 ] \]
\[ = (x^2+x+1) [ x^8 + x^5 + x^2 – x^7 – x^4 – x + x^3 – x^2 + 1 ] \]
Sắp xếp lại các hạng tử trong ngoặc vuông theo thứ tự bậc giảm dần và rút gọn các hạng tử đồng dạng (\(x^2\) và \(-x^2\) triệt tiêu nhau):
\[ = (x^2+x+1) [ x^8 – x^7 + x^5 – x^4 + x^3 – x + 1 ] \]
Vậy, kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là:
\(x^{10}+x^5+1 = (x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)\)
Hy vọng qua hai ví dụ này, các em đã nắm vững hơn phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử. Chúc các em học tốt!
\(a) x^8+x+1\)
\(=x^8-x^2+x^2+x+1\)
\(=x^2(x^6-1)+(x^2+x+1)\)
\(=x^2 (x^3-1)(x^3+1)+(x^2+x+1)\)
\(=(x^5+x^2)(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)
\(=(x^2+x+1)[(x^5+x^2)(x-1)+1]\)
\(=(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)\)
\(b) x^10+x^5+1\)
\(=x^10-x+x^5-x^2+x^2+x+1\)
\(=x(x^9-1)+x^2(x^3-1)+(x^2+x+1)\)
\(=x(x^3-1)(x^6+x^3+1)+x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)
\(=(x^7+x^4+x)(x-1)(x^2+x+1)+(x^3-x^2)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)
\(=(x^2+x+1)[(x^7+x^4+x)(x-1)+x^3-x^2+1]\)
\(=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^2-x+x^3-x^2+1)\)
\(=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)\)
a,
\(x^8+x+1\)
\(=x^8+x^7+x^6-x^7-x^6-x^5+x^5+x^4+x^3-x^4-x^3-x^2+x^2+x+1\)
\(=x^6(x^2+x+1)-x^5(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)
\(=(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)\)
b,
\(x^10+x^5+1\)
\(=x^10+x^9+x^8-x^9-x^8-x^7+x^7+x^6+x^5-x^6-x^5-x^4+x^5+x^4+x^3-x^3-x^2-x+x^2+x+1\)
\(=x^8(x^2+x+1)-x^7(x^2+x+1)+x^5(x^2+x+1)-x^4(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)
\(=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)\)