Phân tích đa thức thành nhân tử
a)x^4-2x^3+2x-1
b)x^4+2x^3+2x^2+2x+1
a)x^4-2x^3+2x-1
b)x^4+2x^3+2x^2+2x+1
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị, đòi hỏi chúng ta phải quan sát và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học. Các em hãy cùng theo dõi lời giải chi tiết của cô nhé.
Câu a)
Với đa thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử. Lý do là vì các hạng tử không có nhân tử chung, nhưng khi ta nhóm chúng lại một cách hợp lý, sẽ xuất hiện nhân tử chung mới hoặc các hằng đẳng thức quen thuộc.
- Bước 1: Nhóm các hạng tử.
Ta sẽ nhóm hạng tử bậc bốn với hạng tử bậc không, và hạng tử bậc ba với hạng tử bậc nhất. Cụ thể là nhóm \(x^4\) với \(-1\) và \(-2x^3\) với \(+2x\).
Biểu thức trở thành: \( (x^4 – 1) – (2x^3 – 2x) \) - Bước 2: Phân tích từng nhóm.
Nhóm thứ nhất, \(x^4 – 1\), là một hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(A^2 – B^2\). Ta có \( x^4 – 1 = (x^2)^2 – 1^2 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) \).
Nhóm thứ hai, \(2x^3 – 2x\), ta đặt nhân tử chung \(2x\) ra ngoài: \( 2x(x^2 – 1) \).
Thay vào biểu thức, ta được: \( (x^2 – 1)(x^2 + 1) – 2x(x^2 – 1) \) - Bước 3: Đặt nhân tử chung.
Bây giờ, ta thấy cả hai cụm đều có nhân tử chung là \( (x^2 – 1) \). Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài.
Ta được: \( (x^2 – 1)( (x^2 + 1) – 2x ) \)
Sắp xếp lại các hạng tử trong ngoặc thứ hai: \( (x^2 – 1)(x^2 – 2x + 1) \) - Bước 4: Tiếp tục phân tích.
Ta nhận thấy cả hai nhân tử vừa tìm được đều có thể phân tích tiếp được bằng hằng đẳng thức.- \( x^2 – 1 \) là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (x – 1)(x + 1) \)
- \( x^2 – 2x + 1 \) là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (x – 1)^2 \)
Thay vào biểu thức, ta có: \( (x – 1)(x + 1)(x – 1)^2 \)
- Bước 5: Viết kết quả cuối cùng.
Gom các nhân tử giống nhau lại, ta được kết quả cuối cùng.
Kết quả: \( (x + 1)(x – 1)^3 \)
Câu b)
Với đa thức này, chúng ta cũng có thể dùng phương pháp nhóm hạng tử, nhưng cần một sự quan sát tinh tế hơn bằng cách tách một hạng tử để việc nhóm trở nên thuận lợi.
- Bước 1: Tách hạng tử.
Ta nhận thấy các hạng tử đầu và cuối có thể gợi ý đến hằng đẳng thức. Ta sẽ tách hạng tử \(2x^2\) thành \(x^2 + x^2\).
Biểu thức trở thành: \( x^4 + 2x^3 + x^2 + x^2 + 2x + 1 \) - Bước 2: Nhóm các hạng tử.
Bây giờ, ta nhóm ba hạng tử đầu với nhau và ba hạng tử cuối với nhau.
Ta có: \( (x^4 + 2x^3 + x^2) + (x^2 + 2x + 1) \) - Bước 3: Phân tích từng nhóm.
Ở nhóm thứ nhất \( (x^4 + 2x^3 + x^2) \), ta đặt nhân tử chung \(x^2\) ra ngoài: \( x^2(x^2 + 2x + 1) \).
Nhóm thứ hai \( (x^2 + 2x + 1) \) ta giữ nguyên.
Biểu thức trở thành: \( x^2(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 2x + 1) \) - Bước 4: Vận dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung.
Ta thấy biểu thức \( x^2 + 2x + 1 \) chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (x+1)^2 \).
Thay vào, ta được: \( x^2(x + 1)^2 + (x + 1)^2 \)
Đến đây, ta lại thấy xuất hiện nhân tử chung là \( (x + 1)^2 \). Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài. - Bước 5: Viết kết quả cuối cùng.
Sau khi đặt nhân tử chung, ta được kết quả cuối cùng.
Kết quả: \( (x + 1)^2 (x^2 + 1) \)
Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé
\[\begin{array}{l}
a){x^4} – 2{x^3} + 2x – 1\\
= \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – 2x\left( {{x^2} – 1} \right)\\
= \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – 2x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\\
= \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 – 2x} \right)\\
= \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right){\left( {x – 1} \right)^2}\\
= {\left( {x – 1} \right)^3}\left( {x + 1} \right)\\
b){x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1\\
= \left( {{x^4} + 2{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\
= {x^2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\
= {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {x + 1} \right)^2}\\
= {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)
\end{array}\]
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}
a)\,\,\,{x^4} – 2{x^3} + 2x – 1\\
= \left( {{x^4} – 1} \right) – 2x\left( {{x^2} – 1} \right)\\
= \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – 2x\left( {{x^2} – 1} \right)\\
= \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)\\
= \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right){\left( {x – 1} \right)^2}\\
= \left( {x + 1} \right){\left( {x – 1} \right)^3}\\
b)\,\,\,{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + 2x + 1\\
= \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + \left( {2{x^3} + 2x} \right)\\
= {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 2x\left( {{x^2} + 1} \right)\\
= \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 + 2x} \right)\\
= \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array}\]