Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, cô/thầy sẽ cùng các em giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử rất thú vị này. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá từng bước một nhé!

Bài toán yêu cầu chúng ta phân tích đa thức: x³ + 9x² + 27x + 27 thành nhân tử.

Bước 1: Quan sát đa thức và nhận dạng.
Các em hãy nhìn kỹ vào đa thức: x³ + 9x² + 27x + 27.
Chúng ta thấy rằng đa thức này có 4 hạng tử.
Hạng tử đầu tiên là x³, đây là lập phương của x (x³ = x.x.x).
Hạng tử cuối cùng là 27, chúng ta thử xem nó có phải là lập phương của một số nào đó không. Đúng vậy, 27 = 3³ = 3.3.3.
Bây giờ, chúng ta hãy xem xét hai hạng tử ở giữa: 9x² và 27x.
Chúng ta thử kiểm tra xem liệu đa thức này có dạng của một hằng đẳng thức lập phương quen thuộc hay không. Các em còn nhớ hằng đẳng thức nào liên quan đến lập phương không?

Bước 2: Nhớ lại và áp dụng hằng đẳng thức lập phương.
Chúng ta có hai hằng đẳng thức liên quan đến lập phương:
1. Lập phương của một tổng: \( (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ \)
2. Lập phương của một hiệu: \( (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ \)

Nhìn vào đa thức của chúng ta: x³ + 9x² + 27x + 27, ta thấy tất cả các hạng tử đều mang dấu dương. Điều này gợi ý chúng ta nên xem xét hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \( (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ \).

Bước 3: So sánh đa thức đã cho với công thức hằng đẳng thức.
Chúng ta đã xác định được:
– Hạng tử đầu tiên: x³ tương ứng với \( a³ \), vậy ta có \( a = x \).
– Hạng tử cuối cùng: 27 tương ứng với \( b³ \), vậy ta có \( b = 3 \).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem hai hạng tử ở giữa của đa thức đã cho có khớp với công thức \( 3a²b \) và \( 3ab² \) hay không.
– Kiểm tra hạng tử thứ hai: \( 3a²b \). Thay \( a = x \) và \( b = 3 \) vào, ta được \( 3 x² 3 = 9x² \).
Ồ, hạng tử thứ hai của đa thức đã cho là 9x², hoàn toàn khớp!

– Kiểm tra hạng tử thứ ba: \( 3ab² \). Thay \( a = x \) và \( b = 3 \) vào, ta được \( 3 x 3² = 3 x 9 = 27x \).
Hạng tử thứ ba của đa thức đã cho cũng là 27x, khớp hoàn toàn!

Vì cả bốn hạng tử của đa thức đã cho đều khớp với công thức khai triển của lập phương của một tổng \( (a+b)³ \) với \( a = x \) và \( b = 3 \), nên chúng ta có thể áp dụng hằng đẳng thức này để phân tích đa thức thành nhân tử.

Bước 4: Viết kết quả phân tích.
Áp dụng hằng đẳng thức \( a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³ \), với \( a = x \) và \( b = 3 \), ta có:
x³ + 9x² + 27x + 27 = \( (x+3)³ \)

Kết luận:
Vậy, đa thức x³ + 9x² + 27x + 27 được phân tích thành nhân tử là \( (x+3)³ \).

Các em thấy không, chỉ cần nhận dạng đúng hằng đẳng thức, bài toán trở nên rất đơn giản phải không nào! Cô/thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Hãy ôn tập thêm các hằng đẳng thức để chúng ta có thể giải nhiều bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất nhé!