Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị trong chương trình Toán lớp 8. Bài tập này tuy có vẻ hơi phức tạp một chút, nhưng nếu chúng ta đi từng bước một cách cẩn thận thì sẽ thấy rất đơn giản.

Đề bài của chúng ta là:
(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

Để giải bài toán này, thầy sẽ hướng dẫn các em các bước như sau:

Bước 1: Nhóm các thừa số một cách hợp lý để tạo ra các biểu thức giống nhau.

Các em hãy quan sát các thừa số trong đề bài: (x-1), (x+2), (x-3), (x+4).
Chúng ta cần nhóm chúng lại sao cho tổng các hằng số trong hai ngoặc khi nhân với x tạo ra cùng một kết quả.
Ta có thể thử ghép như sau:
– Ghép (x-1) với (x+2): (x-1)(x+2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2
– Ghép (x-3) với (x+4): (x-3)(x+4) = x^2 + 4x – 3x – 12 = x^2 + x – 12

Như vậy, ta thấy cách ghép này chưa tạo ra được biểu thức giống nhau ngay.

Bây giờ, chúng ta thử ghép theo cách khác:
– Ghép (x-1) với (x+4): (x-1)(x+4) = x^2 + 4x – x – 4 = x^2 + 3x – 4
– Ghép (x+2) với (x-3): (x+2)(x-3) = x^2 – 3x + 2x – 6 = x^2 – x – 6

Cách ghép này cũng chưa hiệu quả.

Chúng ta hãy quay lại với ý tưởng ban đầu và xem xét kỹ hơn các hằng số: -1, +2, -3, +4.
Chúng ta muốn tìm hai cặp số mà tổng của chúng bằng nhau.
-1 + 4 = 3
+2 + (-3) = -1
Hai cặp này không bằng nhau.

Chúng ta thử lại:
-1 + 2 = 1
-3 + 4 = 1
À! Đây rồi! Tổng của các hằng số trong hai cặp này bằng nhau. Vậy ta sẽ nhóm như sau:

(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= [(x-1)(x+2)] . [(x-3)(x+4)] + 24 <-- Cách nhóm này vẫn chưa đúng theo phân tích trên. = [(x-1)(x+4)] . [(x+2)(x-3)] + 24 <-- Đây là cách nhóm đúng. Ta thực hiện phép nhân trong từng cặp ngoặc: (x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4 (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 Vậy biểu thức ban đầu trở thành: (x^2 + 3x - 4)(x^2 - x - 6) + 24 Oops! Thầy xin lỗi, thầy đã nhóm nhầm. Chúng ta cần nhóm sao cho tổng các hằng số trong hai ngoặc khi cộng lại bằng nhau.
-1 và +2: tổng là 1
-3 và +4: tổng là 1
Vậy ta sẽ nhóm (x-1) với (x+2) và (x-3) với (x+4).

(x-1)(x+2) = x^2 + 2x – x – 2 = x^2 + x – 2
(x-3)(x+4) = x^2 + 4x – 3x – 12 = x^2 + x – 12

Ồ, nhìn lại đề bài, thầy đã gõ sai. Đáng lẽ là (x-1)(x+2)(x+3)(x-4) thì mới đúng.
Nhưng với đề bài đã cho là: (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
Ta cần nhóm các cặp có tổng các hệ số tự do bằng nhau:
(-1) + 4 = 3
(+2) + (-3) = -1
Hai cặp này không bằng nhau.

Ta thử cặp khác:
(-1) + (-3) = -4
(+2) + (+4) = 6
Cũng không bằng nhau.

Ta thử lại cách ban đầu, thầy tin là có một cách nhóm hợp lý.
Xem xét các tổng:
-1 + 2 = 1
-3 + 4 = 1
Ta sẽ nhóm (x-1) với (x+2) và (x-3) với (x+4).

[(x-1)(x+2)] . [(x-3)(x+4)] + 24
= (x^2 + 2x – x – 2) . (x^2 + 4x – 3x – 12) + 24
= (x^2 + x – 2) . (x^2 + x – 12) + 24

Các em thấy không, ở đây xuất hiện hai lần biểu thức (x^2 + x). Đây chính là mục tiêu của chúng ta!

Bước 2: Đặt ẩn phụ để đưa về dạng đa thức đơn giản hơn.

Đặt \( t = x^2 + x \).
Khi đó, biểu thức của chúng ta trở thành:
(t – 2)(t – 12) + 24

Bước 3: Khai triển và rút gọn đa thức theo biến mới.

(t – 2)(t – 12) + 24
= t^2 – 12t – 2t + 24 + 24
= t^2 – 14t + 48

Bước 4: Phân tích đa thức theo biến mới thành nhân tử.

Chúng ta cần phân tích đa thức \( t^2 – 14t + 48 \) thành nhân tử.
Chúng ta tìm hai số có tích bằng 48 và tổng bằng -14.
Hai số đó là -6 và -8.
Vì (-6) * (-8) = 48 và (-6) + (-8) = -14.

Vậy ta có:
t^2 – 14t + 48 = t^2 – 6t – 8t + 48
= t(t – 6) – 8(t – 6)
= (t – 6)(t – 8)

Bước 5: Thay ẩn phụ trở lại để có kết quả cuối cùng.

Bây giờ, chúng ta thay \( t = x^2 + x \) trở lại vào biểu thức \( (t – 6)(t – 8) \).
= (x^2 + x – 6)(x^2 + x – 8)

Đến đây, chúng ta cần kiểm tra xem hai nhân tử \( (x^2 + x – 6) \) và \( (x^2 + x – 8) \) có phân tích được nữa không.

Đối với \( x^2 + x – 6 \):
Chúng ta tìm hai số có tích bằng -6 và tổng bằng 1. Hai số đó là 3 và -2.
Vậy \( x^2 + x – 6 = x^2 + 3x – 2x – 6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) \).

Đối với \( x^2 + x – 8 \):
Chúng ta tìm hai số có tích bằng -8 và tổng bằng 1.
Các cặp ước của -8 là: (1, -8), (-1, 8), (2, -4), (-2, 4).
Tổng của các cặp này lần lượt là: -7, 7, -2, 2.
Không có cặp nào có tổng bằng 1.
Do đó, đa thức \( x^2 + x – 8 \) không phân tích được thành nhân tử với hệ số nguyên.

Vậy, kết quả cuối cùng của bài toán là:
(x+3)(x-2)(x^2 + x – 8)

Thầy hy vọng với cách giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ từng bước và tự tin hơn khi gặp những bài toán tương tự. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!