Chào các em học sinh yêu quý! Thật vui khi được cùng các em chinh phục những bài toán thú vị. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử này là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ đấy!

Chúng ta cùng bắt tay vào giải bài này nhé!

Đề bài: Phân tích đa thức thành nhân tử: \( (x+1)^3 + (x-1)^3 \)

Quan sát đa thức này, các em có nhận ra đây là dạng của hằng đẳng thức nào không?

Chính xác rồi! Đây chính là dạng Tổng của hai lập phương.

Chúng ta có công thức tổng quát như sau:

\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \]

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này vào bài toán của mình nhé:

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định ‘a’ và ‘b’ trong công thức.

Trong bài toán của chúng ta, ta có thể xem:

• \( a = x+1 \)
• \( b = x-1 \)

Bước 2: Áp dụng công thức Tổng của hai lập phương.

Thay \( a = x+1 \) và \( b = x-1 \) vào công thức \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \), ta được:

\[ (x+1)^3 + (x-1)^3 = [(x+1) + (x-1)][(x+1)^2 – (x+1)(x-1) + (x-1)^2] \]

(Lý do: Chúng ta đang thay thế các biểu thức phức tạp vào vị trí ‘a’ và ‘b’ của hằng đẳng thức cơ bản để phân tích.)

Bước 3: Rút gọn từng nhân tử.

Nhân tử thứ nhất: \( (x+1) + (x-1) \)

Chúng ta thực hiện phép cộng các đa thức:

\[ (x+1) + (x-1) = x + 1 + x – 1 \]

\[ = (x+x) + (1-1) \]

\[ = 2x + 0 \]

\[ = 2x \]

(Lý do: Đây là bước cơ bản của phép cộng và trừ các số hạng đồng dạng.)

Nhân tử thứ hai: \( (x+1)^2 – (x+1)(x-1) + (x-1)^2 \)

Để rút gọn nhân tử này, chúng ta cần sử dụng các hằng đẳng thức sau:

• Bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
• Bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)
• Hiệu của hai bình phương: \( (A-B)(A+B) = A^2 – B^2 \)

Áp dụng các hằng đẳng thức này:

• \( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
• \( (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1 \)
• \( (x+1)(x-1) = x^2 – 1^2 = x^2 – 1 \)

Bây giờ, thay thế các kết quả này vào nhân tử thứ hai:

\[ (x^2 + 2x + 1) – (x^2 – 1) + (x^2 – 2x + 1) \]

Thực hiện bỏ dấu ngoặc và thu gọn:

\[ = x^2 + 2x + 1 – x^2 + 1 + x^2 – 2x + 1 \]

Sắp xếp lại các số hạng đồng dạng:

\[ = (x^2 – x^2 + x^2) + (2x – 2x) + (1 + 1 + 1) \]

\[ = x^2 + 0 + 3 \]

\[ = x^2 + 3 \]

(Lý do: Chúng ta khai triển các biểu thức bình phương và tích theo các hằng đẳng thức cơ bản, sau đó thu gọn các số hạng đồng dạng để đơn giản hóa biểu thức.)

Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.

Ghép hai nhân tử đã rút gọn lại với nhau:

\[ (x+1)^3 + (x-1)^3 = (2x)(x^2 + 3) \]

Vậy, đa thức \( (x+1)^3 + (x-1)^3 \) sau khi phân tích thành nhân tử là \( 2x(x^2 + 3) \).

Các em thấy không, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ là chìa khóa để giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các công thức này nhé!

Chúc các em học tốt!