Phân tích đa thức thành nhân tử
X^3 – 2x^2y – xy^2 + 2y^3
X^3 – 2x^2y – xy^2 + 2y^3
Đa thức cần phân tích là:
X^3 – 2x^2y – xy^2 + 2y^3
Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một, giống như chúng ta đang làm trên lớp vậy.
Bước 1: Quan sát đa thức và tìm cách nhóm các hạng tử.
Chúng ta có đa thức với 4 hạng tử: X^3, -2x^2y, -xy^2, 2y^3.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử, mục tiêu của chúng ta là biến đổi đa thức này thành một tích của các đa thức khác.
Chúng ta sẽ thử nhóm các hạng tử lại với nhau xem có xuất hiện nhân tử chung hay không.
Thầy thử nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối:
(X^3 – 2x^2y) + (-xy^2 + 2y^3)
Bước 2: Đặt nhân tử chung cho từng nhóm.
Xét nhóm thứ nhất: (X^3 – 2x^2y)
Nhân tử chung ở đây là x^2.
Ta có: X^3 – 2x^2y = x^2(X – 2y)
Xét nhóm thứ hai: (-xy^2 + 2y^3)
Nhân tử chung ở đây là y^2.
Ta có: -xy^2 + 2y^3 = y^2(-x + 2y)
Vậy, sau khi đặt nhân tử chung cho từng nhóm, đa thức của chúng ta trở thành:
x^2(X – 2y) + y^2(-x + 2y)
Bước 3: Biến đổi để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm.
Bây giờ chúng ta thấy rằng hai biểu thức trong ngoặc là (X – 2y) và (-x + 2y) chưa giống nhau hoàn toàn. Tuy nhiên, chúng có liên quan.
Chúng ta có thể biến đổi biểu thức (-x + 2y) để nó giống với (X – 2y).
Ta biết rằng -x + 2y = -(x – 2y).
Vì vậy, y^2(-x + 2y) sẽ bằng y^2 * [-(x – 2y)] = -y^2(x – 2y).
Thay vào biểu thức ở Bước 2, ta được:
x^2(X – 2y) – y^2(x – 2y)
Bước 4: Đặt nhân tử chung mới.
Bây giờ, chúng ta thấy xuất hiện nhân tử chung là (X – 2y) ở cả hai hạng tử.
Chúng ta đặt (X – 2y) làm nhân tử chung:
(X – 2y) * [x^2 – y^2]
Bước 5: Tiếp tục phân tích nếu có thể.
Chúng ta nhìn vào biểu thức còn lại trong ngoặc vuông: [x^2 – y^2].
Các em có nhận ra đây là dạng nào không? Đúng rồi, đây là dạng của hiệu hai bình phương.
Chúng ta có công thức: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).
Áp dụng công thức này với a = x và b = y, ta có:
x^2 – y^2 = (x – y)(x + y).
Bước 6: Kết hợp lại để có kết quả cuối cùng.
Thay biểu thức đã phân tích của hiệu hai bình phương vào lại biểu thức ở Bước 4:
(X – 2y) * (x – y)(x + y)
Vậy, đa thức X^3 – 2x^2y – xy^2 + 2y^3 đã được phân tích thành nhân tử là:
(X – 2y)(x – y)(x + y)
Các em thấy không, chúng ta đã biến đổi đa thức ban đầu thành một tích của ba đa thức đơn giản hơn.
Thầy nhắc lại các bước chính:
1. Nhóm các hạng tử.
2. Đặt nhân tử chung cho từng nhóm.
3. Biến đổi để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm.
4. Đặt nhân tử chung mới.
5. Phân tích tiếp (nếu có thể) bằng các hằng đẳng thức hoặc phương pháp khác.
6. Viết kết quả cuối cùng.
Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa để nắm vững hơn phương pháp này nhé. Có bạn nào có câu hỏi gì không?
Đáp án\(+\)Giải thích các bước giải :
\(x^3-2x^2 y-xy^2+2y^3\)
\(=x^2 (x-2y)-y^2 (x-2y)\)
\(=(x-2y)(x^2-y^2)\)
\(=(x-2y)(x-y)(x+y)\)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(x^{3}-2x^{2}y-xy^{2}+2y^{3}\)
\(=(x^{3}-xy^{2})-(2x^{2}y-2y^{3})\)
\(=x.(x^{2}-y^{2})-2y.(x^{2}-y^{2})\)
\(=(x-2y).(x^{2}-y^{2})\)
\(=(x-2y).(x-y).(x+y)\)