Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử quen thuộc. Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một, đảm bảo các em hiểu rõ và có thể tự mình giải quyết những bài tập tương tự.

Bài toán của chúng ta hôm nay là: phân tích đa thức x^8 – x^2 thành nhân tử.

Các em hãy cùng quan sát đa thức này. Chúng ta thấy có những điểm chung nào giữa hai hạng tử x^8 và x^2 không nhỉ? À, đúng rồi, cả hai hạng tử đều có chứa biến x. Như vậy, chúng ta có thể đặt nhân tử chung ra ngoài.

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Nhân tử chung ở đây là x^2, vì x^2 là lũy thừa bậc thấp nhất của x trong đa thức đã cho (x^8 có thể viết là x^2 * x^6).

Áp dụng quy tắc đặt nhân tử chung:
x^8 – x^2 = x^2 * (x^(8-2) – x^(2-2))
x^8 – x^2 = x^2 * (x^6 – x^0)

Mà x^0 = 1, nên ta có:
x^8 – x^2 = x^2 * (x^6 – 1)

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bước đầu tiên, đặt được nhân tử chung x^2.

Bước 2: Tiếp tục phân tích biểu thức còn lại

Bây giờ, chúng ta tập trung vào biểu thức trong ngoặc: x^6 – 1.
Các em hãy nhớ lại các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học. Đa thức x^6 – 1 có dạng nào quen thuộc không nhỉ?

Chúng ta có thể viết x^6 dưới dạng một bình phương hoặc một lập phương.
Nếu viết dưới dạng bình phương: x^6 = (x^3)^2.
Khi đó, biểu thức trở thành: (x^3)^2 – 1^2. Đây chính là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).

Áp dụng hằng đẳng thức này với a = x^3 và b = 1:
x^6 – 1 = (x^3)^2 – 1^2 = (x^3 – 1)(x^3 + 1)

Vậy, đa thức ban đầu của chúng ta bây giờ sẽ là:
x^8 – x^2 = x^2 * (x^3 – 1)(x^3 + 1)

Bước 3: Phân tích các biểu thức trong ngoặc tiếp theo

Bây giờ, chúng ta cần xem xét hai biểu thức còn lại trong ngoặc: (x^3 – 1) và (x^3 + 1).

Xét biểu thức (x^3 – 1):
Đây là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2).
Ở đây, a = x và b = 1.
Vậy, x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x*1 + 1^2) = (x – 1)(x^2 + x + 1).

Xét biểu thức (x^3 + 1):
Đây là dạng của hằng đẳng thức tổng hai lập phương: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2).
Ở đây, a = x và b = 1.
Vậy, x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x*1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 – x + 1).

Bước 4: Ghép các nhân tử lại

Cuối cùng, chúng ta thay các kết quả phân tích ở Bước 3 vào biểu thức ở Bước 2:
x^8 – x^2 = x^2 * (x^3 – 1)(x^3 + 1)
x^8 – x^2 = x^2 [(x – 1)(x^2 + x + 1)] [(x + 1)(x^2 – x + 1)]

Chúng ta có thể sắp xếp lại các nhân tử cho đẹp hơn:
x^8 – x^2 = x^2 (x – 1) (x + 1) (x^2 + x + 1) (x^2 – x + 1)

Các em hãy kiểm tra xem các nhân tử x^2, (x-1), (x+1), (x^2 + x + 1), (x^2 – x + 1) có còn phân tích được nữa không nhé.
– x^2 thì đã là dạng cơ bản.
– (x-1) và (x+1) là các nhị thức bậc nhất, không phân tích được nữa.
– Đối với (x^2 + x + 1) và (x^2 – x + 1), các em thử tính biệt thức delta (hoặc nhận xét nhanh) để xem chúng có nghiệm hay không. Với những đa thức bậc hai không có nghiệm thực thì chúng không phân tích được thành nhân tử với hệ số thực. Trong chương trình lớp 8, chúng ta chỉ phân tích thành các nhân tử có hệ số nguyên hoặc hữu tỉ.

Như vậy, chúng ta đã phân tích xong đa thức x^8 – x^2 thành nhân tử.

Kết quả cuối cùng là:
x^8 – x^2 = x^2(x – 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1)

Các em hãy ghi chép lại bài giải thật cẩn thận và về nhà làm thêm các bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!