Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tập này đòi hỏi chúng ta phải khéo léo vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Đa thức cần phân tích là: 4x^4y^4 + 1

Thầy nhận thấy rằng đa thức này không có nhân tử chung rõ ràng. Tuy nhiên, chúng ta có thể thử vận dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức.

Bước 1: Nhận dạng dạng bài và thử áp dụng phương pháp thêm bớt hạng tử.
Chúng ta quan sát hai hạng tử trong đa thức: 4x^4y^4 và 1.
Ta thấy 4x^4y^4 có thể viết lại là (2x^2y^2)^2 và 1 có thể viết lại là 1^2.
Đây gợi cho chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức bình phương của một tổng: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Nếu ta coi a = 2x^2y^2 và b = 1, thì hạng tử thiếu trong biểu thức để tạo thành bình phương của một tổng là 2ab = 2 (2x^2y^2) 1 = 4x^2y^2.

Bước 2: Thêm và bớt hạng tử vừa tìm được.
Ta sẽ thêm vào đa thức hạng tử 4x^2y^2 và đồng thời bớt đi hạng tử 4x^2y^2 để giá trị của đa thức không thay đổi.
4x^4y^4 + 1 = 4x^4y^4 + 4x^2y^2 + 1 – 4x^2y^2

Bước 3: Nhóm các hạng tử tạo thành hằng đẳng thức.
Ta nhóm ba hạng tử đầu tiên lại, chúng tạo thành bình phương của một tổng.
(4x^4y^4 + 4x^2y^2 + 1) – 4x^2y^2
Ta nhận thấy:
4x^4y^4 = (2x^2y^2)^2
4x^2y^2 = 2 (2x^2y^2) 1
1 = 1^2
Vậy, theo hằng đẳng thức (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, ta có:
4x^4y^4 + 4x^2y^2 + 1 = (2x^2y^2 + 1)^2

Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:
(2x^2y^2 + 1)^2 – 4x^2y^2

Bước 4: Tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức.
Bây giờ, đa thức của chúng ta có dạng A^2 – B^2, đây là dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: A^2 – B^2 = (A – B)(A + B).
Trong trường hợp này, ta có:
A = 2x^2y^2 + 1
B^2 = 4x^2y^2, suy ra B = \(\sqrt{4x^2y^2}\) = 2xy.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
(2x^2y^2 + 1)^2 – (2xy)^2 = [(2x^2y^2 + 1) – 2xy] * [(2x^2y^2 + 1) + 2xy]

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi ngoặc theo thứ tự giảm dần của lũy thừa (nếu cần thiết và thuận tiện).
Thông thường, chúng ta sẽ sắp xếp theo thứ tự giảm dần của lũy thừa để biểu thức gọn gàng hơn.
= (2x^2y^2 – 2xy + 1) * (2x^2y^2 + 2xy + 1)

Vậy, đa thức 4x^4y^4 + 1 đã được phân tích thành nhân tử là:
(2x^2y^2 – 2xy + 1)(2x^2y^2 + 2xy + 1)

Các em thấy không, chỉ cần một chút khéo léo trong việc thêm bớt hạng tử, chúng ta đã có thể biến một đa thức phức tạp thành tích của hai đa thức đơn giản hơn.

Các em về nhà ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ và luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé.

Kết quả cuối cùng:
(2x^2y^2 – 2xy + 1)(2x^2y^2 + 2xy + 1)