Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng toán rất quan trọng trong chương trình lớp 8, đó là “Phân tích đa thức thành nhân tử”. Các em hãy mở sách giáo khoa trang 55 và chúng ta cùng bắt đầu với bài tập 68 nhé!

Phần a) 81x^4 + 4

Đây là một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị. Ban đầu nhìn vào, các em có thể thấy hơi khó khăn vì nó không thuộc các dạng quen thuộc như đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức trực tiếp. Tuy nhiên, các em hãy nhớ lại những bài học về “Thêm bớt hạng tử” mà chúng ta đã học. Đôi khi, để làm xuất hiện hằng đẳng thức, chúng ta cần “biến hóa” đa thức một chút.

Bước 1: Nhận dạng và gợi ý phương pháp.
Đa thức có hai hạng tử, đều là lũy thừa bậc chẵn của một biểu thức. Hạng tử thứ nhất là \(81x^4 = (9x^2)^2\) và hạng tử thứ hai là \(4 = 2^2\).
Đây là gợi ý cho chúng ta nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc hiệu: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) hoặc \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
Trong trường hợp này, nếu ta coi \(a = 9x^2\) và \(b = 2\), thì \(a^2 = (9x^2)^2\) và \(b^2 = 2^2\).

Bước 2: Thêm bớt hạng tử.
Để sử dụng hằng đẳng thức, ta cần có hạng tử \(2ab\). Ở đây, \(2ab = 2 \cdot (9x^2) \cdot 2 = 36x^2\).
Vậy, ta sẽ thêm bớt hạng tử \(36x^2\) vào đa thức ban đầu:
\(81x^4 + 4 = 81x^4 + 36x^2 + 4 – 36x^2\)

Bước 3: Nhóm các hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức.
Ta nhóm ba hạng tử đầu tiên lại:
\((81x^4 + 36x^2 + 4) – 36x^2\)
Ba hạng tử trong ngoặc chính là dạng \(a^2 + 2ab + b^2\), với \(a = 9x^2\) và \(b = 2\). Do đó, ta có thể viết lại thành \((a+b)^2\):
\((9x^2 + 2)^2 – 36x^2\)

Bước 4: Tiếp tục phân tích bằng hằng đẳng thức.
Bây giờ, ta lại nhìn thấy một biểu thức có dạng hiệu của hai bình phương: \(A^2 – B^2\), với \(A = 9x^2 + 2\) và \(B^2 = 36x^2 = (6x)^2\), vậy \(B = 6x\).
Ta sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\).
Áp dụng vào bài toán:
\((9x^2 + 2)^2 – (6x)^2 = ((9x^2 + 2) – 6x)((9x^2 + 2) + 6x)\)

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự lũy thừa giảm dần.
Để đa thức đẹp hơn, ta sắp xếp lại các hạng tử trong từng ngoặc:
\((9x^2 – 6x + 2)(9x^2 + 6x + 2)\)

Vậy, ta đã phân tích đa thức \(81x^4 + 4\) thành nhân tử là \((9x^2 – 6x + 2)(9x^2 + 6x + 2)\).

—

Phần b) x^4 + 2013x^2 + 2012x + 2013

Bài tập này có vẻ hơi “hack não” với các con số lớn, nhưng đừng lo lắng, chúng ta sẽ tìm ra cách giải quyết. Khi gặp một bài toán có các con số “kỳ lạ” như thế này, chúng ta nên thử tách các con số đó ra để xem có tạo ra mối liên hệ nào với các hạng tử khác không.

Bước 1: Nhận dạng và gợi ý phương pháp.
Đa thức có bậc 4. Chúng ta có \(2013x^2\) và \(2012x\) và \(2013\).
Hãy thử tách số \(2013\) thành \(2012 + 1\). Ta có thể viết lại đa thức như sau:
\(x^4 + (2012 + 1)x^2 + 2012x + (2012 + 1)\)

Bước 2: Sắp xếp lại và nhóm các hạng tử.
Ta cố gắng nhóm các hạng tử có chứa “2012” lại với nhau:
\(x^4 + x^2 + 1 + 2012x^2 + 2012x + 2012\)
\(x^4 + x^2 + 1 + 2012(x^2 + x + 1)\)

Bước 3: Phân tích hạng tử \(x^4 + x^2 + 1\).
Hạng tử \(x^4 + x^2 + 1\) này là một dạng quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong các bài tập nâng cao. Chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp “thêm bớt hạng tử” để đưa về hằng đẳng thức.
Ta nhận thấy \(x^4 + x^2 + 1\) có thể liên quan đến \((x^2 + 1)^2\).
\((x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1\).
So với \(x^4 + x^2 + 1\), ta thấy thiếu một \(x^2\). Vậy ta sẽ thêm bớt \(x^2\):
\(x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 – x^2\)
\( = (x^2 + 1)^2 – x^2\)
Bây giờ, ta lại có hiệu của hai bình phương: \(A^2 – B^2\) với \(A = x^2 + 1\) và \(B = x\).
Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\):
\( (x^2 + 1)^2 – x^2 = ((x^2 + 1) – x)((x^2 + 1) + x) \)
\( = (x^2 – x + 1)(x^2 + x + 1) \)

Bước 4: Thay kết quả phân tích vào đa thức ban đầu.
Bây giờ, ta thay kết quả phân tích \(x^4 + x^2 + 1\) vào biểu thức ở Bước 2:
\( (x^2 – x + 1)(x^2 + x + 1) + 2012(x^2 + x + 1) \)

Bước 5: Đặt nhân tử chung.
Chúng ta thấy có nhân tử chung là \((x^2 + x + 1)\). Ta đặt nhân tử chung này ra ngoài:
\( (x^2 + x + 1)[(x^2 – x + 1) + 2012] \)

Bước 6: Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông.
\( (x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1 + 2012) \)
\( (x^2 + x + 1)(x^2 – x + 2013) \)

Vậy, chúng ta đã phân tích xong đa thức \(x^4 + 2013x^2 + 2012x + 2013\) thành nhân tử là \((x^2 + x + 1)(x^2 – x + 2013)\).

Các em thấy không, dù bài toán có vẻ phức tạp với những con số lớn, nhưng chỉ cần chúng ta biết cách vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học, đặc biệt là “thêm bớt hạng tử” và các hằng đẳng thức, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!