Chào các em, hôm nay thầy sẽ cùng các em đi giải bài tập này. Đây là một dạng bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Chúng ta cần chú ý để áp dụng đúng các hằng đẳng thức đã học.

Đa thức đề bài cho là: 81x^4 + 4y^4

Bước 1: Quan sát và nhận dạng dạng bài tập.

Chúng ta thấy rằng đa thức này có hai hạng tử. Cả hai hạng tử đều là lũy thừa bậc chẵn. Hạng tử thứ nhất là 81x^4, hạng tử thứ hai là 4y^4. Chúng ta thử xem có thể đưa về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu hay không.

Bước 2: Biến đổi các hạng tử về dạng bình phương.

Ta thấy 81 là 9^2, và x^4 là (x^2)^2. Vậy 81x^4 có thể viết thành (9x^2)^2.
Tương tự, 4 là 2^2, và y^4 là (y^2)^2. Vậy 4y^4 có thể viết thành (2y^2)^2.

Khi đó, đa thức của chúng ta trở thành: (9x^2)^2 + (2y^2)^2

Bước 3: Vận dụng hằng đẳng thức để phân tích.

Đây là dạng a^2 + b^2. Hằng đẳng thức chúng ta quen thuộc là (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 hoặc (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2.
Rõ ràng, a^2 + b^2 không phải là một hằng đẳng thức cơ bản để phân tích thành nhân tử.

Tuy nhiên, chúng ta có thể nghĩ đến việc “thêm bớt” để tạo ra hằng đẳng thức.
Hãy thử thêm vào hạng tử 2ab, ở đây a là 9x^2 và b là 2y^2.
Vậy 2ab sẽ là 2 (9x^2) (2y^2) = 36x^2y^2.

Ta sẽ viết lại đa thức ban đầu bằng cách thêm và bớt hạng tử 36x^2y^2:
81x^4 + 4y^4 = (9x^2)^2 + (2y^2)^2
= (9x^2)^2 + 2 (9x^2) (2y^2) + (2y^2)^2 – 2 (9x^2) (2y^2)

Bước 4: Nhóm các hạng tử để tạo thành hằng đẳng thức.

Ba hạng tử đầu tiên: (9x^2)^2 + 2 (9x^2) (2y^2) + (2y^2)^2 chính là dạng a^2 + 2ab + b^2, với a = 9x^2 và b = 2y^2.
Vậy ta có thể viết thành (a+b)^2, tức là (9x^2 + 2y^2)^2.

Còn lại hạng tử trừ đi: – 2 (9x^2) (2y^2) = – 36x^2y^2.

Vậy đa thức được viết lại là:
(9x^2 + 2y^2)^2 – 36x^2y^2

Bước 5: Tiếp tục phân tích bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Ta nhận thấy 36x^2y^2 có thể viết thành bình phương của một hạng tử.
36 = 6^2
x^2 = (x)^2
y^2 = (y)^2
Vậy 36x^2y^2 = (6xy)^2.

Khi đó, biểu thức của chúng ta trở thành:
(9x^2 + 2y^2)^2 – (6xy)^2

Đây có dạng A^2 – B^2, với A = 9x^2 + 2y^2 và B = 6xy.
Chúng ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: A^2 – B^2 = (A – B)(A + B).

Vậy ta có:
[ (9x^2 + 2y^2) – 6xy ] [ (9x^2 + 2y^2) + 6xy ]

Bước 6: Sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi ngoặc (theo thứ tự giảm dần của lũy thừa biến x, hoặc theo một quy tắc nhất định để dễ nhìn).

Ta sắp xếp lại:
(9x^2 – 6xy + 2y^2) (9x^2 + 6xy + 2y^2)

Đây là dạng phân tích cuối cùng của đa thức đã cho.

Kết luận:

Vậy, 81x^4 + 4y^4 = (9x^2 – 6xy + 2y^2) (9x^2 + 6xy + 2y^2).

Các em về nhà ôn lại các hằng đẳng thức đã học và luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé!