tìm các giá trị lượng giác còn lại biết tanx=-2 với -pi/2<x<pi/2
Đề bài của chúng ta là: Cho tan(x) = -2 với điều kiện -π/2 < x < π/2. Hãy tìm các giá trị lượng giác còn lại của x. Đây là một dạng bài tập quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta. Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đã được học. Bước 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác dựa vào miền giá trị của x.
Đề bài cho chúng ta biết -π/2 < x < π/2. Đây là khoảng của góc phần tư thứ IV và góc phần tư thứ I trên đường tròn lượng giác. * Trong khoảng này: * sin(x) sẽ có giá trị âm ở góc phần tư thứ IV và dương ở góc phần tư thứ I. * cos(x) sẽ luôn có giá trị dương. * tan(x) và cot(x) sẽ có giá trị âm ở góc phần tư thứ IV và dương ở góc phần tư thứ I. Vì đề bài cho tan(x) = -2 (là một giá trị âm), nên x của chúng ta nằm ở góc phần tư thứ IV. Điều này có nghĩa là sin(x) sẽ mang dấu âm, còn cos(x) sẽ mang dấu dương. Bước 2: Tìm giá trị của cos(x) sử dụng công thức liên hệ giữa tan(x) và cos(x).
Chúng ta có công thức: \(1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\).
Thay giá trị tan(x) = -2 vào công thức này:
\(1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
\(1 + 4 = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
\(5 = \frac{1}{\cos^2(x)}\)
Suy ra: \(\cos^2(x) = \frac{1}{5}\).
Lấy căn bậc hai hai vế, ta có: \(\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}\).
Dựa vào Bước 1, chúng ta đã xác định được cos(x) phải mang dấu dương trong khoảng -π/2 < x < π/2. Vậy, \(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{5}}\). Để đẹp hơn, chúng ta có thể trục căn thức ở mẫu: \(\cos(x) = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Bước 3: Tìm giá trị của sin(x) bằng cách sử dụng công thức liên hệ giữa tan(x) và sin(x), hoặc sử dụng giá trị cos(x) vừa tìm được.
Cách 1: Sử dụng công thức tan(x) = sin(x) / cos(x).
Ta có: \(\sin(x) = \tan(x) \cdot \cos(x)\).
Thay giá trị tan(x) = -2 và cos(x) = \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) vào:
\(\sin(x) = (-2) \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(\sin(x) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
Cách 2: Sử dụng công thức sin^2(x) + cos^2(x) = 1.
Ta có: \(\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)\).
\(\sin^2(x) = 1 – \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2\)
\(\sin^2(x) = 1 – \frac{1}{5}\)
\(\sin^2(x) = \frac{4}{5}\)
Lấy căn bậc hai hai vế, ta có: \(\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\).
Dựa vào Bước 1, chúng ta đã xác định được sin(x) phải mang dấu âm trong khoảng -π/2 < x < π/2 (vì x nằm ở góc phần tư thứ IV). Vậy, \(\sin(x) = -\frac{2}{\sqrt{5}}\). Trục căn thức ở mẫu: \(\sin(x) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Cả hai cách đều cho ra cùng một kết quả, điều này khẳng định lại tính đúng đắn. Bước 4: Tìm giá trị của cot(x).
Chúng ta có thể sử dụng công thức cot(x) = 1 / tan(x).
Thay giá trị tan(x) = -2 vào:
\(\cot(x) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\).
Hoặc chúng ta cũng có thể sử dụng công thức cot(x) = cos(x) / sin(x).
\(\cot(x) = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\)
\(\cot(x) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left(-\frac{5}{2\sqrt{5}}\right)\)
\(\cot(x) = -\frac{1}{2}\).
Một lần nữa, cả hai cách cho ra cùng một kết quả.
Kết luận:
Vậy, với tan(x) = -2 và -π/2 < x < π/2, chúng ta có các giá trị lượng giác còn lại là: * \(\cos(x) = \frac{\sqrt{5}}{5}\) * \(\sin(x) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\) * \(\cot(x) = -\frac{1}{2}\) Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và biết cách xác định dấu của các giá trị lượng giác dựa trên miền giá trị của góc, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Các em xem lại bài giải, có chỗ nào chưa hiểu thì mạnh dạn hỏi thầy nhé. Chúng ta sẽ tiếp tục với các bài tập tương tự.
Đáp án + Giải thích các bước giải:
\(tanx=-2->cotx=1/tanx=-1/2\)
Ta có : \(1+tan^2x=1/(cos^2x)\)
\(<=>1+(-2)^2=1/(cos^2x)\)
\(<=>1/(cos^2x)=5\)
\(<=>cosx=+-1/\sqrt{5}\)
Mà ta có \(-\pi/2<x<\pi/2\) ( điều kiện là phần màu đỏ trong hình )
\(=>cosx=1/\sqrt{5}\)
Ta lại có : \(tanx=(sinx)/(cosx)\)
\(<=>-2=(sinx)/(1/\sqrt{5})->sinx=-(2)/\sqrt{5}\)