Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau làm bài tập phân tích một biểu thức dưới dạng hằng đẳng thức. Bài này nằm trong chương trình căn bậc hai, rất quan trọng để các em làm quen với việc biến đổi biểu thức.

Bài toán của chúng ta là: Phân tích biểu thức 7 + 4\(\sqrt{3}\) thành hằng đẳng thức.

Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học ở lớp 8, đó là bình phương của một tổng:

(a + b)\(^2\) = a\(^2\) + 2ab + b\(^2\)

Hoặc bình phương của một hiệu:

(a – b)\(^2\) = a\(^2\) – 2ab + b\(^2\)

Quan sát biểu thức 7 + 4\(\sqrt{3}\), chúng ta thấy có dạng a\(^2\) + 2ab + b\(^2\). Mục tiêu của chúng ta là tìm hai số a và b sao cho khi áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta thu được biểu thức đã cho.

Bước 1: Tách phần có chứa căn bậc hai và xác định ‘2ab’.
Trong biểu thức 7 + 4\(\sqrt{3}\), phần có chứa căn là 4\(\sqrt{3}\). Chúng ta cần biến đổi nó về dạng 2ab.
Ta có: 4\(\sqrt{3}\) = 2 2 \(\sqrt{3}\).
Ở đây, chúng ta có thể thử đặt 2ab = 2 2 \(\sqrt{3}\).
Từ đây, chúng ta có thể suy ra một khả năng cho ‘a’ và ‘b’.

Bước 2: Xác định ‘a’ và ‘b’.
Nếu ta coi 2 là ‘a’ và \(\sqrt{3}\) là ‘b’ (hoặc ngược lại), chúng ta sẽ kiểm tra xem a\(^2\) + b\(^2\) có bằng phần còn lại của biểu thức (là 7) hay không.

Trường hợp 1: a = 2, b = \(\sqrt{3}\)
Ta tính a\(^2\) = 2\(^2\) = 4.
Ta tính b\(^2\) = (\(\sqrt{3}\))\(^2\) = 3.
Bây giờ, ta cộng a\(^2\) và b\(^2\): a\(^2\) + b\(^2\) = 4 + 3 = 7.
Số 7 này chính là phần còn lại của biểu thức 7 + 4\(\sqrt{3}\) mà chúng ta chưa sử dụng.
Vậy, chúng ta đã tìm đúng ‘a’ và ‘b’.

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức.
Chúng ta có:
7 + 4\(\sqrt{3}\) = (a\(^2\) + b\(^2\)) + 2ab
Thay a = 2 và b = \(\sqrt{3}\) vào:
7 + 4\(\sqrt{3}\) = (2\(^2\) + (\(\sqrt{3}\))\(^2\)) + 2 2 \(\sqrt{3}\)
Theo hằng đẳng thức (a + b)\(^2\) = a\(^2\) + 2ab + b\(^2\), ta có thể viết lại như sau:
7 + 4\(\sqrt{3}\) = 2\(^2\) + 2 2 \(\sqrt{3}\) + (\(\sqrt{3}\))\(^2\)
Đây chính là dạng a\(^2\) + 2ab + b\(^2\) với a = 2 và b = \(\sqrt{3}\).
Do đó, ta có thể viết gọn lại bằng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
7 + 4\(\sqrt{3}\) = (2 + \(\sqrt{3}\))\(^2\)

Vậy, chúng ta đã phân tích thành công biểu thức 7 + 4\(\sqrt{3}\) thành hằng đẳng thức (2 + \(\sqrt{3}\))\(^2\).

Các em nhớ rằng, khi gặp bài toán phân tích biểu thức dạng này, chúng ta luôn tìm cách đưa về dạng a\(^2\) + 2ab + b\(^2\) hoặc a\(^2\) – 2ab + b\(^2\) bằng cách tách phần có chứa căn và xác định ‘a’, ‘b’ tương ứng. Chúc các em luyện tập tốt!