Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích đa thức sau đây thành nhân tử theo đúng những kiến thức đã học trong chương trình Toán lớp 8.

Đa thức cần phân tích là:
\(x^3(x^2-7)^2-36x\)

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé.

Bước 1: Đặt nhân tử chung.
Quan sát đa thức, chúng ta thấy cả hai hạng tử đều chứa \(x\). Hạng tử thứ nhất có \(x^3\), hạng tử thứ hai có \(x\). Nhân tử chung lớn nhất là \(x\).
Ta đặt \(x\) làm nhân tử chung:
\(x \left[ x^2(x^2-7)^2 – 36 \right]\)

Bước 2: Tiếp tục phân tích biểu thức trong ngoặc vuông.
Bây giờ, chúng ta tập trung vào biểu thức bên trong ngoặc vuông: \(x^2(x^2-7)^2 – 36\).
Chúng ta nhận thấy rằng:
– Hạng tử thứ nhất \(x^2(x^2-7)^2\) có thể viết lại thành \([x(x^2-7)]^2\).
– Hạng tử thứ hai \(36\) có thể viết lại thành \(6^2\).

Khi đó, biểu thức trong ngoặc vuông có dạng \([x(x^2-7)]^2 – 6^2\). Đây là dạng của hiệu hai bình phương.
Chúng ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).
Ở đây, \(a = x(x^2-7)\) và \(b = 6\).
Vậy, ta có:
\([x(x^2-7)]^2 – 6^2 = \left[ x(x^2-7) – 6 \right] \left[ x(x^2-7) + 6 \right]\)

Bước 3: Rút gọn và nhân phân phối bên trong các ngoặc mới.
Bây giờ, chúng ta sẽ nhân phân phối \(x\) vào trong ngoặc \(x^2-7\):
\(x(x^2-7) = x \cdot x^2 – x \cdot 7 = x^3 – 7x\)

Thay trở lại vào biểu thức ở Bước 2:
\(\left[ (x^3 – 7x) – 6 \right] \left[ (x^3 – 7x) + 6 \right]\)
\(= (x^3 – 7x – 6)(x^3 – 7x + 6)\)

Bước 4: Kiểm tra xem các nhân tử có thể phân tích tiếp hay không.
Chúng ta có hai nhân tử là \(x^3 – 7x – 6\) và \(x^3 – 7x + 6\).
Đối với đa thức bậc ba, chúng ta có thể thử tìm nghiệm hữu tỉ bằng định lý nghiệm hữu tỉ, hoặc kiểm tra xem có thể nhóm các hạng tử để tạo ra nhân tử chung hay không.
Tuy nhiên, với các kiến thức đã học ở lớp 8, việc phân tích sâu hơn các đa thức bậc ba này có thể vượt quá phạm vi hoặc yêu cầu một số kỹ thuật nâng cao hơn.
Trong phạm vi bài học của chúng ta, các nhân tử \(x^3 – 7x – 6\) và \(x^3 – 7x + 6\) thường được coi là không thể phân tích tiếp một cách dễ dàng bằng các hằng đẳng thức cơ bản hoặc phương pháp nhóm hạng tử quen thuộc.
Chúng ta có thể kiểm tra nhanh:
– Đối với \(x^3 – 7x – 6\): Thử các ước của 6 (±1, ±2, ±3, ±6).
– Với \(x = -1\): \((-1)^3 – 7(-1) – 6 = -1 + 7 – 6 = 0\). Vậy \(x+1\) là một nhân tử.
– Ta có thể chia đa thức \(x^3 – 7x – 6\) cho \(x+1\) để tìm nhân tử còn lại.
\(x^3 – 7x – 6 = (x+1)(x^2 – x – 6)\)
\(x^2 – x – 6\) có thể phân tích tiếp thành \((x-3)(x+2)\).
Vậy \(x^3 – 7x – 6 = (x+1)(x-3)(x+2)\).

– Đối với \(x^3 – 7x + 6\): Thử các ước của 6 (±1, ±2, ±3, ±6).
– Với \(x = 1\): \(1^3 – 7(1) + 6 = 1 – 7 + 6 = 0\). Vậy \(x-1\) là một nhân tử.
– Ta có thể chia đa thức \(x^3 – 7x + 6\) cho \(x-1\) để tìm nhân tử còn lại.
\(x^3 – 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x – 6)\)
\(x^2 + x – 6\) có thể phân tích tiếp thành \((x+3)(x-2)\).
Vậy \(x^3 – 7x + 6 = (x-1)(x+3)(x-2)\).

Tuy nhiên, nếu đề bài chỉ yêu cầu phân tích theo các bước đã học và không có yêu cầu phân tích sâu các đa thức bậc ba, thì kết quả dừng lại ở Bước 3 là hoàn toàn hợp lý và chính xác. Trong trường hợp này, cô sẽ trình bày kết quả cuối cùng dựa trên việc phân tích sâu hơn để cung cấp một cái nhìn đầy đủ.

Bước 5: Gộp tất cả các nhân tử lại.
Từ Bước 1, ta có nhân tử chung là \(x\).
Từ Bước 4, ta có:
\(x^3 – 7x – 6 = (x+1)(x-3)(x+2)\)
\(x^3 – 7x + 6 = (x-1)(x+3)(x-2)\)

Vậy, biểu thức ban đầu được phân tích thành:
\(x \cdot (x+1)(x-3)(x+2) \cdot (x-1)(x+3)(x-2)\)

Chúng ta có thể sắp xếp lại các nhân tử theo thứ tự tăng dần của nghiệm (nếu muốn):
\(x(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)\)

Tóm lại, các bước phân tích là:
1. Đặt nhân tử chung \(x\).
2. Nhận dạng hiệu hai bình phương trong ngoặc vuông và áp dụng hằng đẳng thức.
3. Rút gọn biểu thức bên trong các ngoặc mới.
4. (Nâng cao) Phân tích các đa thức bậc ba \(x^3 – 7x – 6\) và \(x^3 – 7x + 6\) thành nhân tử.
5. Gộp tất cả các nhân tử lại.

Kết quả cuối cùng của việc phân tích là:
\(x(x-3)(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)\)

Hoặc có thể viết gọn lại là:
\(x(x+1)(x-3)(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)\)

Chúc các em luôn học tốt môn Toán!