Phương trình sinx=2/3 có bao nhiêu nghiệm thuộc (-π; π) ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Chúng ta sẽ đi từng bước một, thật chậm rãi để tất cả các em đều hiểu rõ nhé.
Bước 1: Hiểu đề bài và xác định yêu cầu
Đề bài cho chúng ta phương trình: sinx = 2/3.
Yêu cầu là tìm xem có bao nhiêu giá trị của ‘x’ thỏa mãn phương trình này, đồng thời ‘x’ phải nằm trong khoảng từ trừ pi đến pi, tức là \( x \in (-\pi; \pi) \).
Bước 2: Nhớ lại kiến thức về hàm sin và đường tròn lượng giác
Các em còn nhớ về hàm sin không nào? Hàm sin biểu diễn tung độ của một điểm trên đường tròn lượng giác.
Đường tròn lượng giác là một đường tròn có bán kính bằng 1, tâm tại gốc tọa độ (0,0). Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với một góc lượng giác.
Khi xét phương trình sinx = m, tức là tìm các góc ‘x’ sao cho tung độ của điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác có giá trị bằng ‘m’.
Trong trường hợp này, m = 2/3. Giá trị 2/3 này là một số dương và nhỏ hơn 1. Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ có những điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng 2/3.
Bước 3: Xét giá trị của m và mối liên hệ với hàm sin
Chúng ta biết rằng giá trị của hàm sin luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là \(-1 \le \sin x \le 1\) với mọi x.
Ở đây, \( m = 2/3 \), thỏa mãn điều kiện \(-1 < 2/3 < 1\).
Vì vậy, phương trình sinx = 2/3 chắc chắn có nghiệm.
Bước 4: Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng nằm ngang có phương trình y = 2/3 sẽ cắt đường tròn tại hai điểm.
Hai điểm này có tung độ bằng 2/3.
Mỗi điểm trên đường tròn lượng giác tương ứng với một góc. Do đó, chúng ta sẽ có hai góc khác nhau trong một chu kỳ 2π mà có cùng giá trị sin là 2/3.
Bước 5: Xác định khoảng đang xét
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm nghiệm trong khoảng \( (-\pi; \pi) \).
Khoảng này có độ dài là \( \pi – (-\pi) = 2\pi \). Đây chính là một chu kỳ đầy đủ của hàm sin.
Bước 6: Phân tích các nghiệm trong khoảng \( (-\pi; \pi) \)
Gọi \( \alpha \) là một nghiệm của phương trình sinx = 2/3, với \( 0 < \alpha < \pi/2 \) (vì 2/3 dương và nhỏ hơn 1).
Khi đó, hai họ nghiệm tổng quát của phương trình sinx = 2/3 là:
x = \( \alpha + k2\pi \)
x = \( \pi - \alpha + k2\pi \)
với k là số nguyên.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét xem có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \) bằng cách thay các giá trị nguyên của k.
* Xét họ nghiệm thứ nhất: x = \( \alpha + k2\pi \)
* Nếu k = 0, ta có x = \( \alpha \). Vì \( 0 < \alpha < \pi/2 \), nên \( \alpha \) thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
* Nếu k = 1, ta có x = \( \alpha + 2\pi \). Giá trị này lớn hơn \( \pi \), nên không thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
* Nếu k = -1, ta có x = \( \alpha - 2\pi \). Giá trị này nhỏ hơn \( -\pi \), nên không thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
* Xét họ nghiệm thứ hai: x = \( \pi - \alpha + k2\pi \)
* Nếu k = 0, ta có x = \( \pi - \alpha \). Vì \( 0 < \alpha < \pi/2 \), nên \( \pi/2 < \pi - \alpha < \pi \). Do đó, \( \pi - \alpha \) thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
* Nếu k = 1, ta có x = \( \pi - \alpha + 2\pi = 3\pi - \alpha \). Giá trị này lớn hơn \( \pi \), nên không thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
* Nếu k = -1, ta có x = \( \pi - \alpha - 2\pi = -\pi - \alpha \). Giá trị này nhỏ hơn \( -\pi \), nên không thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
Vậy, trong khoảng \( (-\pi; \pi) \), chúng ta tìm được hai nghiệm là \( \alpha \) và \( \pi - \alpha \).
Bước 7: Kiểm tra lại trên đường tròn lượng giác
Khoảng \( (-\pi; \pi) \) bao gồm các góc quay từ \( -\pi \) (vị trí của điểm (-1, 0) trên đường tròn đơn vị) đến \( \pi \) (cũng là vị trí của điểm (-1, 0) trên đường tròn đơn vị, nhưng quay theo chiều dương). Hay nói cách khác, chúng ta xét nửa trên và nửa dưới của đường tròn lượng giác, bỏ qua điểm mút.
Đường thẳng y = 2/3 (nằm phía trên trục hoành) sẽ cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm. Một điểm ở góc phần tư thứ nhất (tương ứng với góc dương \( \alpha \)) và một điểm ở góc phần tư thứ hai (tương ứng với góc dương \( \pi – \alpha \)). Cả hai góc này đều nằm trong khoảng \( (0; \pi) \), và do đó nằm trong khoảng \( (-\pi; \pi) \).
Không có nghiệm nào khác trong khoảng này.
Kết luận:
Phương trình sinx = 2/3 có 2 nghiệm thuộc khoảng \( (-\pi; \pi) \).
Do đó, đáp án đúng là B.
Chúc các em học tốt!
\(\begin{array}{l} \sin x = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\\ x \in \left( { – \pi ;\pi } \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – \pi < \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi < \pi \\ – \pi < \pi – \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi < \pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ k = 0 \Rightarrow x = \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right),x = \pi – \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) \in \left( { – \pi ;\pi } \right)\\ k = 1 \Rightarrow x = \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) + k2\pi ,3\pi – \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) \notin \left( { – \pi ;\pi } \right)\\ k = – 1 \Rightarrow x = \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) – 2\pi ,x = – \pi – \arcsin \left( {\dfrac{2}{3}} \right) \notin \left( { – \pi ;\pi } \right) \end{array}\)
Có \(2\) nghiệm