Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế về chuyển động. Bài toán này có liên quan đến kiến thức về vận tốc, quãng đường và thời gian mà chúng ta đã học.

Yêu cầu của bài toán là tính vận tốc xe lúc đi và lúc về. Chúng ta có những thông tin sau:
– Quãng đường từ Hà Nội đến Nam Định là 90 km.
– Xe nghỉ tại Nam Định 45 phút.
– Tổng thời gian cả đi và về (bao gồm cả thời gian nghỉ) là 5 giờ.
– Vận tốc xe lúc đi nhanh hơn lúc về là 5 km/h.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định đại lượng cần tìm

Chúng ta cần tìm vận tốc xe lúc đi và vận tốc xe lúc về.
Gọi vận tốc xe lúc về là \( v_1 \) (km/h).
Vì vận tốc xe lúc đi nhanh hơn lúc về là 5 km/h, nên vận tốc xe lúc đi là \( v_1 + 5 \) (km/h).

Bước 2: Phân tích thời gian và quãng đường

Quãng đường Hà Nội – Nam Định là 90 km.
Thời gian xe đi từ Hà Nội đến Nam Định là: \( t_{đi} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc lúc đi}} = \frac{90}{v_1 + 5} \) (giờ).
Thời gian xe đi từ Nam Định về Hà Nội là: \( t_{về} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Vận tốc lúc về}} = \frac{90}{v_1} \) (giờ).

Thời gian nghỉ tại Nam Định là 45 phút. Chúng ta cần đổi 45 phút ra giờ để đồng bộ đơn vị:
45 phút = \( \frac{45}{60} \) giờ = \( \frac{3}{4} \) giờ.

Tổng thời gian cả đi và về là 5 giờ. Tổng thời gian này bao gồm thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ.
Ta có phương trình: \( t_{đi} + t_{về} + \text{Thời gian nghỉ} = 5 \)

Thay các biểu thức đã tìm được vào phương trình:
\( \frac{90}{v_1 + 5} + \frac{90}{v_1} + \frac{3}{4} = 5 \)

Bước 3: Giải phương trình

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \( v_1 \).
Đầu tiên, chuyển thời gian nghỉ sang vế phải:
\( \frac{90}{v_1 + 5} + \frac{90}{v_1} = 5 – \frac{3}{4} \)
\( \frac{90}{v_1 + 5} + \frac{90}{v_1} = \frac{20}{4} – \frac{3}{4} \)
\( \frac{90}{v_1 + 5} + \frac{90}{v_1} = \frac{17}{4} \)

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \( 4v_1(v_1 + 5) \).
Nhân cả hai vế của phương trình với \( 4v_1(v_1 + 5) \) (với điều kiện \( v_1 \neq 0 \) và \( v_1 \neq -5 \), điều này hợp lý vì vận tốc là số dương).

\( 90 \cdot 4v_1 + 90 \cdot 4(v_1 + 5) = 17 \cdot v_1(v_1 + 5) \)
\( 360v_1 + 360(v_1 + 5) = 17v_1^2 + 85v_1 \)
\( 360v_1 + 360v_1 + 1800 = 17v_1^2 + 85v_1 \)
\( 720v_1 + 1800 = 17v_1^2 + 85v_1 \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
\( 17v_1^2 + 85v_1 – 720v_1 – 1800 = 0 \)
\( 17v_1^2 – 635v_1 – 1800 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a = 17 \), \( b = -635 \), \( c = -1800 \).
Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm \( v_1 \).
Delta (\( \Delta \)) được tính bằng: \( \Delta = b^2 – 4ac \)
\( \Delta = (-635)^2 – 4 \cdot 17 \cdot (-1800) \)
\( \Delta = 403225 + 122400 \)
\( \Delta = 525625 \)

Căn bậc hai của Delta là: \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{525625} = 725 \)

Các nghiệm của phương trình là:
\( v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

Nghiệm thứ nhất:
\( v_1 = \frac{-(-635) + 725}{2 \cdot 17} = \frac{635 + 725}{34} = \frac{1360}{34} = 40 \)

Nghiệm thứ hai:
\( v_1 = \frac{-(-635) – 725}{2 \cdot 17} = \frac{635 – 725}{34} = \frac{-90}{34} = -\frac{45}{17} \)

Vì vận tốc không thể là số âm, chúng ta loại bỏ nghiệm thứ hai.
Vậy, vận tốc xe lúc về là \( v_1 = 40 \) km/h.

Bước 4: Tính vận tốc lúc đi

Vận tốc xe lúc đi là \( v_1 + 5 \).
Vận tốc lúc đi = \( 40 + 5 = 45 \) km/h.

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả

Thời gian xe đi từ Hà Nội về Nam Định: \( t_{đi} = \frac{90}{45} = 2 \) giờ.
Thời gian xe đi từ Nam Định về Hà Nội: \( t_{về} = \frac{90}{40} = 2.25 \) giờ = 2 giờ 15 phút.
Thời gian nghỉ: 45 phút.
Tổng thời gian: \( 2 \) giờ + \( 2.25 \) giờ + \( 0.75 \) giờ = \( 5 \) giờ.

Kết quả của chúng ta hoàn toàn khớp với đề bài.

Kết luận:
Vận tốc xe lúc đi là 45 km/h.
Vận tốc xe lúc về là 40 km/h.

Các em thấy đấy, với bài toán này, việc tóm tắt đề bài, đặt ẩn hợp lý và phân tích cẩn thận các yếu tố về thời gian, quãng đường, vận tốc sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Hãy luôn nhớ đổi đơn vị cho thống nhất khi làm bài nhé!