Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, đó là quy đồng mẫu thức các phân thức đại số. Việc quy đồng mẫu thức giúp chúng ta thực hiện các phép cộng, trừ phân thức một cách dễ dàng hơn. Chúng ta sẽ làm theo từng bước thật cẩn thận nhé!

Đề bài yêu cầu chúng ta quy đồng mẫu thức cho hai phân thức sau:

\[ \frac{11}{x^4y} \quad \text{và} \quad \frac{3}{xy^3} \]

Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần)

Mục đích: Để dễ dàng xác định các nhân tử chung và riêng, từ đó tìm được Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTC).

Trong bài này, hai mẫu thức đã có dạng tích của các nhân tử rồi, nên chúng ta không cần phân tích thêm:

• Mẫu thức thứ nhất: \( x^4y \)
• Mẫu thức thứ hai: \( xy^3 \)

Các nhân tử ở đây là \( x \) và \( y \).

Bước 2: Tìm Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTC)

Mục đích: MTC là một đa thức có bậc thấp nhất, chia hết cho tất cả các mẫu thức ban đầu. Nó là “bội chung nhỏ nhất” của các mẫu thức.

Để tìm MTC của các phân thức chứa biến, chúng ta làm như sau:

1. Về phần hệ số: Nếu có các hệ số số, chúng ta tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng. Ở đây, cả hai mẫu đều có hệ số là 1, nên BCNN của 1 và 1 là 1.
2. Về phần biến: Chúng ta chọn tất cả các biến có mặt trong các mẫu thức (ở đây là \( x \) và \( y \)), sau đó lấy với số mũ cao nhất của mỗi biến.
   • Với biến \( x \):
     • Trong mẫu thứ nhất có \( x^4 \)
     • Trong mẫu thứ hai có \( x^1 \) (tức là \( x \))

     Số mũ cao nhất của \( x \) là \( 4 \). Vậy ta chọn \( x^4 \).

   • Với biến \( y \):
     • Trong mẫu thứ nhất có \( y^1 \) (tức là \( y \))
     • Trong mẫu thứ hai có \( y^3 \)

     Số mũ cao nhất của \( y \) là \( 3 \). Vậy ta chọn \( y^3 \).

Vậy, Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTC) của hai phân thức là \( x^4y^3 \).

Lý do chúng ta chọn số mũ cao nhất là để đảm bảo MTC có thể chia hết cho tất cả các mẫu thức ban đầu, đồng thời là đa thức đơn giản nhất (bậc thấp nhất) có tính chất đó.

Bước 3: Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức

Mục đích: Nhân tử phụ là biểu thức mà khi nhân với mẫu thức ban đầu sẽ cho ra MTC. Chúng ta cần nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ này để giữ nguyên giá trị của phân thức.

1. Đối với phân thức thứ nhất: \( \frac{11}{x^4y} \)

   Nhân tử phụ của phân thức này là MTC chia cho mẫu thức của nó:

   \[ \frac{x^4y^3}{x^4y} = y^{3-1} = y^2 \]

   Vậy, nhân tử phụ của phân thức \( \frac{11}{x^4y} \) là \( y^2 \).

2. Đối với phân thức thứ hai: \( \frac{3}{xy^3} \)

   Nhân tử phụ của phân thức này là MTC chia cho mẫu thức của nó:

   \[ \frac{x^4y^3}{xy^3} = x^{4-1} = x^3 \]

   Vậy, nhân tử phụ của phân thức \( \frac{3}{xy^3} \) là \( x^3 \).

Bước 4: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Mục đích: Tạo ra các phân thức mới bằng với phân thức ban đầu nhưng có cùng mẫu thức là MTC.

1. Quy đồng phân thức thứ nhất: \( \frac{11}{x^4y} \)

   Ta nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ \( y^2 \):

   \[ \frac{11}{x^4y} = \frac{11 \cdot y^2}{x^4y \cdot y^2} = \frac{11y^2}{x^4y^3} \]

2. Quy đồng phân thức thứ hai: \( \frac{3}{xy^3} \)

   Ta nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ \( x^3 \):

   \[ \frac{3}{xy^3} = \frac{3 \cdot x^3}{xy^3 \cdot x^3} = \frac{3x^3}{x^4y^3} \]

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc quy đồng mẫu thức! Hai phân thức sau khi quy đồng là:

Kết quả:

\[ \frac{11y^2}{x^4y^3} \quad \text{và} \quad \frac{3x^3}{x^4y^3} \]

Các em thấy không, bài toán quy đồng mẫu thức rất logic và có các bước rõ ràng. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng toán này nhé! Chúc các em học tốt!