Chào các em học sinh yêu quý! Cô là giáo viên dạy Toán lớp 7 của trường mình đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về lũy thừa khá thú vị. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép bài cẩn thận nhé.

Chúng ta sẽ rút gọn biểu thức sau:
A = 2¹².3⁵ – 4⁶.81 / (2².3)⁶ + 8⁴.3⁵

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước để làm bài tập này.

Bước 1: Phân tích các cơ số về dạng lũy thừa của các số nguyên tố.

Ở đây, chúng ta có các cơ số là 2, 3, 4, 8, 81. Chúng ta sẽ đưa chúng về dạng lũy thừa của 2 và 3.

* Cơ số 4: Ta biết \(4 = 2^2\).
* Cơ số 8: Ta biết \(8 = 2^3\).
* Cơ số 81: Ta biết \(81 = 3^4\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các cơ số này vào biểu thức ban đầu:

A = 2¹².3⁵ – (2²)⁶.(3⁴) / (2².3)⁶ + (2³)⁴.3⁵

Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa của một tích.

Chúng ta sẽ áp dụng các công thức sau:
* Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
* Quy tắc lũy thừa của một tích: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)

Áp dụng vào biểu thức:

* \((2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}\)
* \((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}\)
* \((2^2 \cdot 3)^6 = (2^2)^6 \cdot 3^6 = 2^{12} \cdot 3^6\)

Thay vào biểu thức A:

A = 2¹².3⁵ – 2¹².3⁴ / (2¹².3⁶) + 2¹².3⁵

Bước 3: Rút gọn phân số.

Chúng ta có phân số: 2¹².3⁴ / (2¹².3⁶)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m / a^n = a^{m-n}\)

Phân số này sẽ bằng:
(2¹² / 2¹²) * (3⁴ / 3⁶)
= \(2^{12-12}\) * \(3^{4-6}\)
= \(2^0\) * \(3^{-2}\)
= 1 * \(3^{-2}\)
= \(3^{-2}\)

Hoặc ta có thể hiểu đơn giản là:
\( (2^{12} \cdot 3^4) / (2^{12} \cdot 3^6) = 3^4 / 3^6 = 1 / 3^2 = 1/9 \)

Nếu dùng \(3^{-2}\), ta có thể viết lại là \(1/3^2\).

Vậy phân số rút gọn là \(1/3^2\).

Bây giờ, chúng ta thay phân số đã rút gọn vào biểu thức A:

A = 2¹².3⁵ – \(1/3^2\) + 2¹².3⁵

Bước 4: Nhận thấy các số hạng giống nhau.

Ta thấy rằng hai số hạng đầu và cuối của biểu thức đều là 2¹².3⁵. Chúng ta có thể nhóm chúng lại:

A = (2¹².3⁵ + 2¹².3⁵) – \(1/3^2\)

Bước 5: Thực hiện phép cộng và trừ.

Ta có: 2¹².3⁵ + 2¹².3⁵ = 2 * (2¹².3⁵)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
2 * (2¹².3⁵) = \(2^1 \cdot 2^{12} \cdot 3^5 = 2^{1+12} \cdot 3^5 = 2^{13} \cdot 3^5\)

Vậy biểu thức A trở thành:

A = 2¹³.3⁵ – \(1/3^2\)

Chúng ta có thể tính giá trị của \(1/3^2\): \(1/3^2 = 1/9\).

A = 2¹³.3⁵ – 1/9

Nếu đề bài yêu cầu rút gọn đến mức tối giản nhất và không cần tính ra giá trị số cụ thể, thì kết quả trên là đúng. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, giáo viên có thể mong muốn biểu thức được viết dưới dạng một phân số hoặc một số.

Để có thể trừ 1/9, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Tuy nhiên, \(2^{13} \cdot 3^5\) là một số rất lớn, việc quy đồng sẽ làm biểu thức trở nên phức tạp.

Chúng ta hãy kiểm tra lại đề bài xem có cách nào khác để làm gọn hơn không.
Quay lại bước 3:
A = 2¹².3⁵ – (2¹².3⁴) / (2¹².3⁶) + 2¹².3⁵

Xem xét lại phân số:
\( (2^{12} \cdot 3^4) / (2^{12} \cdot 3^6) \)
Ta có thể triệt tiêu \(2^{12}\) ở cả tử và mẫu.
\( 3^4 / 3^6 = 1 / 3^{6-4} = 1 / 3^2 \)

Vậy biểu thức là:
A = 2¹².3⁵ – \(1/3^2\) + 2¹².3⁵

Như vậy, ta nhóm hai số hạng giống nhau:
A = 2 * (2¹².3⁵) – \(1/3^2\)
A = \(2^{13} \cdot 3^5\) – \(1/9\)

Trong chương trình Toán lớp 7, thông thường chúng ta sẽ dừng lại ở đây vì \(2^{13} \cdot 3^5\) là một số rất lớn. Nếu đề bài yêu cầu tính ra kết quả cuối cùng, chúng ta sẽ phải tính toán giá trị này.

Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể coi \(1/3^2\) là một phần của biểu thức và giữ nguyên nó.

Để chắc chắn về cách trình bày cuối cùng, chúng ta hãy xem xét liệu có thể đưa 1/9 vào trong phép tính để tạo thành một biểu thức đẹp hơn không.

Nhìn lại đề bài một lần nữa:
A = 2¹².3⁵ – 4⁶.81 / (2².3)⁶ + 8⁴.3⁵

Ta có:
4⁶ = (2²)⁶ = 2¹²
81 = 3⁴
(2².3)⁶ = (2²)⁶.3⁶ = 2¹².3⁶
8⁴ = (2³)⁴ = 2¹²

Thay vào:
A = 2¹².3⁵ – (2¹².3⁴) / (2¹².3⁶) + 2¹².3⁵

Rút gọn phân số:
(2¹².3⁴) / (2¹².3⁶) = 3⁴ / 3⁶ = 1 / 3² = 1/9

A = 2¹².3⁵ – 1/9 + 2¹².3⁵

Nhóm các số hạng giống nhau:
A = (2¹².3⁵ + 2¹².3⁵) – 1/9
A = 2 * (2¹².3⁵) – 1/9
A = \(2^{13} \cdot 3^5\) – 1/9

Với kiến thức lớp 7, chúng ta có thể giữ nguyên biểu thức này. Nếu muốn viết dưới dạng một phân số duy nhất, chúng ta sẽ cần tính \(2^{13} \cdot 3^5\).

\(2^{13} = 8192\)
\(3^5 = 243\)
\(2^{13} \cdot 3^5 = 8192 \cdot 243 = 1990656\)

Vậy,
A = 1990656 – 1/9
A = \( (1990656 \cdot 9 – 1) / 9 \)
A = \( (17915904 – 1) / 9 \)
A = \( 17915903 / 9 \)

Tuy nhiên, cách trình bày đẹp và phù hợp với chương trình lớp 7 là dừng lại ở biểu thức chứa lũy thừa.

Kết luận:

Sau khi thực hiện các bước phân tích, áp dụng quy tắc lũy thừa và rút gọn, biểu thức A được rút gọn là:
A = \(2^{13} \cdot 3^5\) – \(1/3^2\)

Hoặc viết gọn hơn:
A = \(2^{13} \cdot 3^5\) – \(1/9\)

Các em thấy đó, với việc nắm vững các quy tắc về lũy thừa, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Hãy ôn tập thật kỹ các công thức này nhé.

Cô hy vọng bài giảng hôm nay giúp các em hiểu rõ hơn về cách rút gọn biểu thức chứa lũy thừa. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!