Chào em, đây là một bài toán rút gọn biểu thức chứa căn rất hay và điển hình trong chương trình Toán lớp 9. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước nhé.

Dạng toán này có một phương pháp giải quen thuộc là bình phương biểu thức đó lên.

Bước 1: Đặt tên và nhận xét biểu thức

Để cho tiện trình bày, ta đặt:
\[ A = \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \]
Ta thấy cả hai số hạng của A đều là các căn bậc hai số học, nên chúng đều là số dương.
Do đó, ta có thể khẳng định \(A > 0\). Điều này quan trọng cho bước cuối cùng.

Bước 2: Bình phương hai vế của biểu thức A

Ta có:
\[ A^2 = \left( \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \right)^2 \]
Áp dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), với:
\(a = \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\) và \(b = \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\)

Ta được:
\[ A^2 = \left(\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \left(\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^2 \]

Tiếp tục rút gọn từng phần:
\[ A^2 = (4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}) + 2 \cdot \sqrt{(4+\sqrt{10+2\sqrt{5}})(4-\sqrt{10+2\sqrt{5}})} + (4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}) \]

Bây giờ, ta nhóm các số hạng lại:
\[ A^2 = (4+4) + (\sqrt{10+2\sqrt{5}} – \sqrt{10+2\sqrt{5}}) + 2 \cdot \sqrt{4^2 – (\sqrt{10+2\sqrt{5}})^2} \]

Ở đây, ta đã áp dụng hằng đẳng thức \((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\) cho biểu thức trong căn.

Rút gọn tiếp, ta có:
\[ A^2 = 8 + 0 + 2 \cdot \sqrt{16 – (10+2\sqrt{5})} \]
\[ A^2 = 8 + 2 \cdot \sqrt{16 – 10 – 2\sqrt{5}} \]
\[ A^2 = 8 + 2 \cdot \sqrt{6 – 2\sqrt{5}} \]

Bước 3: Rút gọn căn thức lồng nhau \(\sqrt{6 – 2\sqrt{5}}\)

Ta cần biến đổi biểu thức bên trong căn \(6 – 2\sqrt{5}\) thành dạng bình phương của một hiệu.
Ta tìm hai số có tổng bằng 6 và tích bằng 5. Dễ dàng thấy đó là hai số 5 và 1.
Do đó:
\[ 6 – 2\sqrt{5} = 5 – 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5})^2 – 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5}-1)^2 \]

Thay vào biểu thức của \(A^2\):
\[ A^2 = 8 + 2 \cdot \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} \]

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt{X^2} = |X|\), ta có:
\[ A^2 = 8 + 2 \cdot |\sqrt{5}-1| \]
Vì \(\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1\), nên \(\sqrt{5}-1 > 0\). Do đó, \(|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1\).
\[ A^2 = 8 + 2(\sqrt{5}-1) \]
\[ A^2 = 8 + 2\sqrt{5} – 2 \]
\[ A^2 = 6 + 2\sqrt{5} \]

Bước 4: Tìm A từ giá trị của \(A^2\)

Ta có \(A^2 = 6 + 2\sqrt{5}\).
Vì \(A > 0\) (như đã nhận xét ở Bước 1), ta có:
\[ A = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \]

Tương tự Bước 3, ta biến đổi biểu thức trong căn \(6 + 2\sqrt{5}\) thành dạng bình phương của một tổng. Ta vẫn dùng hai số 5 và 1.
\[ 6 + 2\sqrt{5} = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{5}+1)^2 \]

Vậy:
\[ A = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} \]
\[ A = |\sqrt{5}+1| \]

Vì \(\sqrt{5}+1 > 0\), nên \(|\sqrt{5}+1| = \sqrt{5}+1\).

Kết luận

Vậy giá trị rút gọn của biểu thức đã cho là \(\sqrt{5}+1\).

Đây là một dạng bài tập rất quan trọng giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi hằng đẳng thức và rút gọn căn thức. Hãy làm thêm các bài tập tương tự để thành thạo hơn nhé. Chúc em học tốt