Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến định lý Vi-ét. Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước thật chi tiết, đảm bảo không bỏ sót kiến thức nào nhé.

Chúng ta có đề bài:
Cho phương trình bậc hai với hai nghiệm là x1 và x2.
Biết rằng:
S = x1 + x2 = \( \frac{-1}{3} \)
P = x1 * x2 = -2
Và biểu thức A = \( (3x_1 – 2x_2)(2x_1 – 3x_2) \)

Yêu cầu: Tính giá trị của biểu thức A.

Các em hãy cùng quan sát và ghi nhớ từng bước giải dưới đây.

Bước 1: Phân tích biểu thức A

Biểu thức A của chúng ta có dạng là tích của hai nhân tử. Để tính được A, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân đa thức.
A = \( (3x_1 – 2x_2)(2x_1 – 3x_2) \)

Chúng ta sẽ nhân lần lượt từng hạng tử của nhân tử thứ nhất với từng hạng tử của nhân tử thứ hai:
A = \( 3x_1 \cdot (2x_1 – 3x_2) – 2x_2 \cdot (2x_1 – 3x_2) \)

Bây giờ, chúng ta tiếp tục phân phối:
A = \( (3x_1 \cdot 2x_1) + (3x_1 \cdot (-3x_2)) + (-2x_2 \cdot 2x_1) + (-2x_2 \cdot (-3x_2)) \)

Thực hiện phép nhân:
A = \( 6x_1^2 – 9x_1x_2 – 4x_1x_2 + 6x_2^2 \)

Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Sau khi nhân, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau. Ở đây, chúng ta có hai hạng tử chứa \( x_1x_2 \).
A = \( 6x_1^2 + 6x_2^2 – 9x_1x_2 – 4x_1x_2 \)

Kết hợp các hạng tử \( x_1x_2 \):
A = \( 6x_1^2 + 6x_2^2 – 13x_1x_2 \)

Bước 3: Biến đổi biểu thức A về dạng chứa S và P

Mục tiêu của chúng ta là biểu diễn A theo S và P đã cho. Chúng ta thấy có \( x_1^2 + x_2^2 \) và \( x_1x_2 \).
Chúng ta đã biết \( P = x_1x_2 \), nên hạng tử \( -13x_1x_2 \) đã có thể thay thế bằng \( -13P \).

Bây giờ, chúng ta cần xử lý hạng tử \( 6x_1^2 + 6x_2^2 \). Chúng ta có thể nhóm 6 ra làm nhân tử chung:
\( 6x_1^2 + 6x_2^2 = 6(x_1^2 + x_2^2) \)

Làm thế nào để biểu diễn \( x_1^2 + x_2^2 \) theo S và P?
Chúng ta hãy nhớ lại hằng đẳng thức \( (x_1 + x_2)^2 \):
\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)

Từ đây, chúng ta có thể suy ra:
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \)

Thay S và P vào công thức này:
\( x_1^2 + x_2^2 = S^2 – 2P \)

Bây giờ, thay biểu thức này trở lại vào \( 6(x_1^2 + x_2^2) \):
\( 6(x_1^2 + x_2^2) = 6(S^2 – 2P) \)

Vậy, biểu thức A của chúng ta giờ có thể viết lại là:
A = \( 6(S^2 – 2P) – 13P \)

Bước 4: Thay giá trị của S và P vào biểu thức A

Chúng ta đã có S = \( \frac{-1}{3} \) và P = -2. Bây giờ, chúng ta chỉ việc thay các giá trị này vào biểu thức A đã biến đổi.
A = \( 6\left( \left(\frac{-1}{3}\right)^2 – 2(-2) \right) – 13(-2) \)

Thực hiện tính toán từng bước nhỏ:
Đầu tiên là bình phương của S:
\( \left(\frac{-1}{3}\right)^2 = \frac{(-1)^2}{3^2} = \frac{1}{9} \)

Tiếp theo là \( 2(-2) \):
\( 2(-2) = -4 \)

Bây giờ, thay vào trong ngoặc vuông:
\( \frac{1}{9} – (-4) = \frac{1}{9} + 4 \)

Để cộng \( \frac{1}{9} \) với 4, chúng ta quy đồng mẫu số:
\( 4 = \frac{4 \cdot 9}{9} = \frac{36}{9} \)
Vậy, \( \frac{1}{9} + \frac{36}{9} = \frac{1 + 36}{9} = \frac{37}{9} \)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị này vào biểu thức A:
A = \( 6\left( \frac{37}{9} \right) – 13(-2) \)

Thực hiện phép nhân \( 6 \cdot \frac{37}{9} \):
\( 6 \cdot \frac{37}{9} = \frac{6 \cdot 37}{9} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 37}{3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 37}{3} = \frac{74}{3} \)

Thực hiện phép nhân \( -13(-2) \):
\( -13(-2) = 26 \)

Cuối cùng, chúng ta cộng hai kết quả lại:
A = \( \frac{74}{3} + 26 \)

Để cộng \( \frac{74}{3} \) với 26, chúng ta quy đồng mẫu số:
\( 26 = \frac{26 \cdot 3}{3} = \frac{78}{3} \)
Vậy, A = \( \frac{74}{3} + \frac{78}{3} = \frac{74 + 78}{3} = \frac{152}{3} \)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức A là \( \frac{152}{3} \).

Các em thấy không, chỉ cần chúng ta biết cách biến đổi biểu thức và áp dụng đúng các công thức liên quan đến định lý Vi-ét, bài toán phức tạp cũng trở nên đơn giản. Các em hãy ôn tập kỹ các bước này nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi cô.
Chúc các em học tốt!