Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán xác suất rất thú vị dựa trên kiến thức đã học. Các em hãy tập trung lắng nghe và ghi chép cẩn thận nhé.

Đề bài cho chúng ta biết trong một ngân hàng câu hỏi có 20 câu trắc nghiệm và 10 câu tự luận. Thầy giáo sẽ chọn ngẫu nhiên 5 câu để tạo một đề kiểm tra. Nhiệm vụ của chúng ta là tính xác suất để đề kiểm tra đó chỉ có 1 hoặc 2 câu tự luận.

Trước hết, thầy trò mình cần xác định xem có bao nhiêu cách để chọn ra 5 câu hỏi từ toàn bộ ngân hàng câu hỏi.
Ngân hàng câu hỏi có tổng cộng: 20 câu trắc nghiệm + 10 câu tự luận = 30 câu.
Việc chọn 5 câu hỏi từ 30 câu này là một tổ hợp, vì thứ tự chọn không quan trọng.
Số phần tử của không gian mẫu (tổng số cách chọn 5 câu hỏi từ 30 câu) là:
C(30, 5) = \(\frac{30!}{5!(30-5)!}\) = \(\frac{30!}{5!25!}\)

Chúng ta tính giá trị này:
C(30, 5) = \(\frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
C(30, 5) = 30 \(\times\) 29 \(\times\) 7 \(\times\) 9 \(\times\) 13 = 142506

Vậy, tổng số cách chọn 5 câu hỏi là 142506 cách. Đây là tổng số kết quả có thể xảy ra.

Bây giờ, chúng ta cần xác định các trường hợp thuận lợi cho biến cố mà đề bài yêu cầu. Đề bài muốn “đề chỉ có 1 hoặc 2 câu tự luận”. Điều này có nghĩa là chúng ta có hai trường hợp nhỏ cần xem xét:

Trường hợp 1: Đề kiểm tra có đúng 1 câu tự luận.
Nếu có 1 câu tự luận, thì số câu trắc nghiệm sẽ là 5 – 1 = 4 câu.
Số cách chọn 1 câu tự luận từ 10 câu tự luận là: C(10, 1) = \(\frac{10!}{1!(10-1)!}\) = \(\frac{10!}{1!9!}\) = 10.
Số cách chọn 4 câu trắc nghiệm từ 20 câu trắc nghiệm là: C(20, 4) = \(\frac{20!}{4!(20-4)!}\) = \(\frac{20!}{4!16!}\)
Tính C(20, 4) = \(\frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\) = 5 \(\times\) 19 \(\times\) 3 \(\times\) 17 = 4845.
Số cách chọn đề có đúng 1 câu tự luận là tích của hai số trên: C(10, 1) \(\times\) C(20, 4) = 10 \(\times\) 4845 = 48450.

Trường hợp 2: Đề kiểm tra có đúng 2 câu tự luận.
Nếu có 2 câu tự luận, thì số câu trắc nghiệm sẽ là 5 – 2 = 3 câu.
Số cách chọn 2 câu tự luận từ 10 câu tự luận là: C(10, 2) = \(\frac{10!}{2!(10-2)!}\) = \(\frac{10!}{2!8!}\)
Tính C(10, 2) = \(\frac{10 \times 9}{2 \times 1}\) = 45.
Số cách chọn 3 câu trắc nghiệm từ 20 câu trắc nghiệm là: C(20, 3) = \(\frac{20!}{3!(20-3)!}\) = \(\frac{20!}{3!17!}\)
Tính C(20, 3) = \(\frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}\) = 20 \(\times\) 19 \(\times\) 3 = 1140.
Số cách chọn đề có đúng 2 câu tự luận là tích của hai số trên: C(10, 2) \(\times\) C(20, 3) = 45 \(\times\) 1140 = 51300.

Vì hai trường hợp này là “hoặc” (tức là đề có 1 câu tự luận HOẶC đề có 2 câu tự luận) và chúng không trùng nhau, nên tổng số trường hợp thuận lợi là tổng số cách của hai trường hợp này.
Tổng số trường hợp thuận lợi = Số cách chọn đề có 1 câu tự luận + Số cách chọn đề có 2 câu tự luận
Tổng số trường hợp thuận lợi = 48450 + 51300 = 99750.

Cuối cùng, để tính xác suất, chúng ta lấy số trường hợp thuận lợi chia cho tổng số trường hợp có thể xảy ra (không gian mẫu).
Xác suất (P) = \(\frac{\text{Số trường hợp thuận lợi}}{\text{Tổng số trường hợp}}\)
P = \(\frac{99750}{142506}\)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này. Cả tử và mẫu đều chia hết cho 6.
99750 : 6 = 16625
142506 : 6 = 23751

Vậy, xác suất cần tìm là \(\frac{16625}{23751}\).

Tóm lại, để giải bài toán này, chúng ta đã thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số cách chọn 5 câu hỏi từ toàn bộ ngân hàng câu hỏi (không gian mẫu).
2. Xác định các trường hợp thuận lợi cho biến cố đề bài yêu cầu (đề có 1 câu tự luận hoặc 2 câu tự luận).
3. Tính số cách chọn cho từng trường hợp thuận lợi.
4. Cộng số cách của các trường hợp thuận lợi lại để có tổng số trường hợp thuận lợi.
5. Chia tổng số trường hợp thuận lợi cho tổng số trường hợp có thể xảy ra để được xác suất.

Các em về nhà luyện tập thêm các bài toán tương tự để nắm vững hơn kiến thức về tổ hợp và xác suất nhé. Chúc các em học tốt!