Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá thú vị trong chương trình Toán lớp 11. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại và vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác quen thuộc.

Chúng ta sẽ đi sâu vào cách giải từng bước một nhé.

Bước 1: Phân tích vế trái của phương trình.
Chúng ta có vế trái là biểu thức sin⁶ x + cos⁶ x.
Nhận thấy đây là dạng tổng của hai lũy thừa bậc 6, chúng ta có thể nghĩ đến việc sử dụng hằng đẳng thức hoặc đưa về dạng lũy thừa bậc 2.

Để làm được điều này, ta có thể áp dụng công thức quen thuộc:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Ở đây, ta coi sin² x là ‘a’ và cos² x là ‘b’.
Vậy ta có:
sin⁶ x + cos⁶ x = (sin² x)³ + (cos² x)³
= (sin² x + cos² x) ((sin² x)² – sin² x cos² x + (cos² x)²)

Giờ chúng ta sẽ đi sâu vào từng thành phần:
– Ta biết rằng: sin² x + cos² x = 1. Đây là công thức lượng giác cơ bản nhất mà chúng ta đã học.
– Tiếp theo, xét phần trong ngoặc vuông: (sin² x)² + (cos² x)² – sin² x cos² x
Chúng ta có thể viết lại (sin² x)² + (cos² x)² bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b².
Suy ra a² + b² = (a + b)² – 2ab.
Áp dụng vào biểu thức của chúng ta:
(sin² x)² + (cos² x)² = (sin² x + cos² x)² – 2 sin² x cos² x
Vì sin² x + cos² x = 1, nên:
(sin² x)² + (cos² x)² = 1² – 2 sin² x cos² x = 1 – 2 sin² x cos² x

– Bây giờ, thay biểu thức này trở lại vào phần trong ngoặc vuông ban đầu:
(1 – 2 sin² x cos² x) – sin² x cos² x = 1 – 3 sin² x cos² x

– Kết hợp lại, vế trái của chúng ta trở thành:
sin⁶ x + cos⁶ x = 1 * (1 – 3 sin² x cos² x) = 1 – 3 sin² x cos² x

Bước 2: Biến đổi thành phần sin² x cos² x.
Trong biểu thức 1 – 3 sin² x cos² x, chúng ta cần xử lý phần sin² x cos² x.
Chúng ta có thể viết lại nó như sau:
sin² x cos² x = (sin x cos x)²

Ta lại nhớ đến công thức nhân đôi của sin: sin(2x) = 2 sin x cos x.
Từ đó suy ra: sin x cos x = sin(2x) / 2.

Bình phương cả hai vế:
(sin x cos x)² = (sin(2x) / 2)² = sin²(2x) / 4.

– Thay biểu thức này vào vế trái đã rút gọn:
1 – 3 * (sin²(2x) / 4) = 1 – 3/4 sin²(2x).

Bước 3: Biến đổi sin²(2x).
Bây giờ chúng ta cần xử lý sin²(2x). Ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc của sin²:
sin² α = (1 – cos(2α)) / 2

Áp dụng công thức này với α = 2x:
sin²(2x) = (1 – cos(2 * 2x)) / 2 = (1 – cos(4x)) / 2.

– Thay biểu thức này vào vế trái:
1 – 3/4 * ((1 – cos(4x)) / 2)
= 1 – 3/8 * (1 – cos(4x))
= 1 – 3/8 + 3/8 cos(4x)
= 5/8 + 3/8 cos(4x).

Vậy, chúng ta đã biến đổi thành công vế trái của phương trình thành 5/8 + 3/8.cos4x.

Bước 4: Kiểm tra với vế phải của phương trình gốc.
Vế phải của phương trình gốc là 5/8 + 3/8.cos4x.
Sau khi thực hiện các phép biến đổi ở các bước trên, chúng ta thấy rằng vế trái đã hoàn toàn trùng khớp với vế phải.

Kết luận:
Bằng cách áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và công thức hạ bậc một cách hợp lý, chúng ta đã chứng minh được đẳng thức đã cho.

Hy vọng các em đã nắm rõ từng bước của bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!