sina – cosa=1/5, (90<a<270). tính tan2a.
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá thú vị, liên quan đến việc tính giá trị của một biểu thức lượng giác phức tạp hơn từ một thông tin cho trước. Bài toán này sẽ giúp chúng ta củng cố và vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác đã học.
Chúng ta bắt đầu nhé!
Bước 1: Phân tích dữ kiện đề bài và mục tiêu cần tìm.
Đề bài cho chúng ta hai thông tin quan trọng:
1. sina – cosa = 1/5
2. 90° < a < 270°
Và chúng ta cần tính giá trị của tan(2a).
Bước 2: Tìm các giá trị sin(a) và cos(a) hoặc một thông tin liên quan.
Nhìn vào biểu thức sina – cosa = 1/5, thầy/cô thấy ngay đây là một phương trình có chứa cả sin(a) và cos(a). Để tính tan(2a), chúng ta cần biết giá trị của sin(2a) và cos(2a), hoặc biết tan(a).
Từ phương trình sina – cosa = 1/5, ta có thể bình phương hai vế để xuất hiện các biểu thức liên quan đến sin2a, cos2a và sin(a)cos(a).
Ta có:
(sina – cosa)2 = (1/5)2
sina2 – 2sin(a)cos(a) + cosa2 = 1/25
Nhớ lại hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin2x + cos2x = 1. Áp dụng vào biểu thức trên, ta được:
1 – 2sin(a)cos(a) = 1/25
Từ đây, ta dễ dàng tìm được giá trị của sin(a)cos(a):
2sin(a)cos(a) = 1 – 1/25
2sin(a)cos(a) = 24/25
sin(a)cos(a) = 12/25
Bước 3: Sử dụng thông tin về góc a để xác định dấu của sin(a) và cos(a).
Đề bài cho 90° < a < 270°.
* Nếu 90° < a < 180° (góc phần tư thứ II), thì sin(a) > 0 và cos(a) < 0.
* Nếu 180° <= a < 270° (góc phần tư thứ III), thì sin(a) <= 0 và cos(a) < 0.
Nhận xét: Vì sin(a)cos(a) = 12/25 > 0, điều này có nghĩa là sin(a) và cos(a) phải cùng dấu. Tuy nhiên, trong khoảng 90° < a < 270°, sin(a) và cos(a) không bao giờ cùng dương hoặc cùng âm. Cụ thể:
* Ở góc phần tư thứ II (90° < a < 180°): sin(a) > 0, cos(a) < 0. Tích sin(a)cos(a) < 0.
* Ở góc phần tư thứ III (180° <= a < 270°): sin(a) <= 0, cos(a) < 0. Tích sin(a)cos(a) >= 0.
Do đó, dựa vào điều kiện 90° < a < 270° và kết quả sin(a)cos(a) = 12/25, ta suy ra góc a phải nằm trong góc phần tư thứ III (180° <= a < 270°).
Bước 4: Tính sin(2a) và cos(2a).
Chúng ta có các công thức sau:
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
cos(2a) = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
Từ Bước 2, ta đã có 2sin(a)cos(a) = 24/25. Vậy:
sin(2a) = 24/25
Bây giờ, chúng ta cần tìm cos(2a). Để làm điều này, chúng ta cần biết thêm về cos2a hoặc sin2a. Chúng ta có thể dùng lại phương trình ban đầu:
sina – cosa = 1/5
Chúng ta cần tìm một cách để tính cos2a hoặc sin2a từ hai phương trình:
1. sina – cosa = 1/5
2. sin(a)cos(a) = 12/25
Tuy nhiên, cách này có thể hơi phức tạp. Thay vào đó, chúng ta có thể tìm cos(2a) bằng một cách khác liên quan đến sin(a) – cos(a).
Xem xét công thức:
cos(2a) = cos2a – sin2a
Ta nhận thấy đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
cos(2a) = (cosa – sina)(cosa + sina)
Chúng ta đã biết (sina – cosa) = 1/5, nên (cosa – sina) = -1/5.
Bây giờ, chúng ta cần tìm (cosa + sina). Ta có thể bình phương biểu thức này:
(cosa + sina)2 = cos2a + 2sin(a)cos(a) + sin2a
(cosa + sina)2 = (sin2a + cos2a) + 2sin(a)cos(a)
(cosa + sina)2 = 1 + 2sin(a)cos(a)
Thay giá trị 2sin(a)cos(a) = 24/25 vào:
(cosa + sina)2 = 1 + 24/25
(cosa + sina)2 = 49/25
Vậy, cosa + sina có hai khả năng:
cosa + sina = sqrt(49/25) = 7/5
hoặc
cosa + sina = -sqrt(49/25) = -7/5
Chúng ta cần xác định dấu của cosa + sina dựa vào điều kiện 180° <= a < 270° (góc phần tư thứ III). Trong góc phần tư này, sin(a) <= 0 và cos(a) < 0. Do đó, cosa + sina sẽ luôn âm.
Vậy, ta chọn:
cosa + sina = -7/5
Bây giờ, chúng ta đã có đủ để tính cos(2a):
cos(2a) = (cosa – sina)(cosa + sina)
cos(2a) = (-1/5) * (-7/5)
cos(2a) = 7/25
Bước 5: Tính tan(2a).
Ta có công thức:
tan(2a) = sin(2a) / cos(2a)
Thay các giá trị đã tìm được vào:
tan(2a) = (24/25) / (7/25)
tan(2a) = 24/7
Vậy, giá trị của tan(2a) là 24/7.
Thầy/cô hy vọng qua bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức lượng giác và sử dụng điều kiện của góc để xác định dấu của các giá trị lượng giác. Hãy xem lại các bước và ghi nhớ công thức quan trọng nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô.
Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\[\tan 2a = \dfrac{{24}}{7}\]
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
90^\circ < a < 270^\circ \Rightarrow \cos a < 0\\
\sin a – \cos a = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \sin a = \cos a + \dfrac{1}{5}\\
{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\\
\Leftrightarrow {\left( {\cos a + \dfrac{1}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}a = 1\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}a + \dfrac{2}{5}\cos a + \dfrac{1}{{25}} + {\cos ^2}a = 1\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}a + \dfrac{2}{5}\cos a – \dfrac{{24}}{{25}} = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos a = \dfrac{3}{5}\\
\cos a = – \dfrac{4}{5}
\end{array} \right.\\
\cos a < 0 \Rightarrow \cos a = – \dfrac{4}{5} \Rightarrow \sin a = – \dfrac{3}{5}\\
\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.\left( { – \dfrac{3}{5}} \right).\left( { – \dfrac{4}{5}} \right) = \dfrac{{24}}{{25}}\\
\cos 2a = 2{\cos ^2}a – 1 = 2.{\left( { – \dfrac{4}{5}} \right)^2} – 1 = \dfrac{7}{{25}}\\
\tan 2a = \dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \dfrac{{24}}{7}
\end{array}\)