Chào các em, cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác quen thuộc, đó là giải phương trình:

Sinx + Sin2x + sin3x = 0

Đây là một dạng toán mà chúng ta đã được làm quen. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kết hợp các công thức biến đổi lượng giác đã học.

Bước 1: Nhóm các số hạng và áp dụng công thức cộng sin.

Chúng ta thấy rằng các số hạng Sinx và Sin3x có thể nhóm lại với nhau để tạo ra sự đối xứng đẹp mắt. Việc nhóm này giúp chúng ta áp dụng công thức cộng sin:

• Công thức: \( \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \)

Áp dụng công thức này cho Sinx và Sin3x, ta có:

(Sinx + Sin3x) + Sin2x = 0

\( 2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} + \sin 2x = 0 \)

\( 2 \sin \frac{4x}{2} \cos \frac{-2x}{2} + \sin 2x = 0 \)

\( 2 \sin 2x \cos (-x) + \sin 2x = 0 \)

Chúng ta biết rằng hàm cosin là hàm chẵn, tức là \( \cos(-x) = \cos x \). Do đó, phương trình trở thành:

\( 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 0 \)

Bước 2: Đặt nhân tử chung.

Quan sát phương trình mới, chúng ta dễ dàng nhận thấy \( \sin 2x \) là nhân tử chung. Việc đặt nhân tử chung giúp chúng ta tách phương trình thành các trường hợp đơn giản hơn.

\( \sin 2x (2 \cos x + 1) = 0 \)

Bước 3: Giải các phương trình cơ bản.

Khi tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải bằng 0. Vì vậy, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( \sin 2x = 0 \)

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình \( \sin u = 0 \):

• Công thức: \( \sin u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi, k \in \mathbb{Z} \)

Áp dụng vào phương trình \( \sin 2x = 0 \):

\( 2x = k\pi, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \)

Trường hợp 2: \( 2 \cos x + 1 = 0 \)

Chuyển vế và chia cho 2, ta được phương trình \( \cos x = -\frac{1}{2} \).

Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta tìm các góc mà có cosin bằng \( -\frac{1}{2} \). Chúng ta biết rằng \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \), và do cosin là hàm lẻ ở góc phần tư thứ hai và thứ ba, nên \( \cos (\pi – \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \) và \( \cos (\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình \( \cos u = \cos \alpha \):

• Công thức: \( \cos u = \cos \alpha \Leftrightarrow u = \pm \alpha + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)

Ở đây, ta có thể chọn \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \). Vậy phương trình trở thành:

\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)

Điều này cho ta hai tập nghiệm con:

\( x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)

Bước 4: Kết luận tập nghiệm.

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm là hợp của tất cả các nghiệm tìm được ở các trường hợp trên.

Tập nghiệm của phương trình là:

\( S = \{ \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ \frac{2\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \)

Hoặc có thể viết gọn là:

\( x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \)

Các em thân mến, với sự kết hợp khéo léo các công thức biến đổi lượng giác, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách hoàn chỉnh. Quan trọng là các em nắm vững công thức và có khả năng nhận diện cách nhóm các số hạng sao cho thuận tiện nhất cho việc áp dụng công thức.

Cô hy vọng bài giảng này giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán lượng giác tương tự. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!